Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12 . площадь её поверхности 288 . найти высоту призмы .

Катеты треугольника в основании равны 9 и 12.  тогда гипотенуза равна   √(9²+12²)=15 s(пов)=2·s(осн)+s(бок)=2·1/2·9·12+(9+12+15)·h=288                                         108+36·h=288                                                 36·h=180                                                       h=5 высота призмы равна 5 .

1)   пусть наша пирамида   , опустим высоту  , тогда рассмотрим прямоугольный треугольник  с прямым углом  .     тогда угол между ребром и   плоскости основания     рассмотрим прямоугольный треугольник     где    середина стороны      тогда      из прямоугольного треугольника           это угол между боковой  гранью и основанием    2)   пусть нам дана пирамида      , тогда опустим высоту    откуда      обозначим сторону квадрата как  , тогда      найдем высоту боковой грани , рассмотрим треугольник  - где  середина стороны   основания .  откуда высота грани равна по теореме пифагора        тогда площадь боковой поверхности равна         где    - полупериметр основания он равен        3) по теореме синусов найдем радиус описанной окружности он будет катетом , если провести высоту , и рассмотреть прямоугольный треугольник образованный высотой , боковой гранью   и радиусом описанной окружности       .          тогда из прямоугольного треугольника , получим   что высота будет равна радиусу описанной окружности так как углы равны по    - равнобедренный треугольник           

Диагонали разбивают прямоугольник на два прямоугольных треугольника с острым углом 30 градусов. в таком треугольнике стороны:   короткий катет,  длинный катет,  гипотенуза (диагональ прямоугольника) относятся как 1: √(3): 2.  проекции боковых ребер пирамиды - это половинки гипотенуз. в условии не указано, ad=5 (нельзя обозначать строчными буквами "ad") короткая или длинная сторона прямоугольника, поэтому в  возможны два варианта. если 5  равен короткий катет , то гипотенуза равна 10, а площадь основания 5*5*√(3)=25*√(3).    в прямоугольных треугольниках, образованных    высотой пирамиды,  боковым  ребром, и проекцией бокового ребра (половинкой гипотенузы) высоту определяем по пифагору: h=√13^2-5^2)=12. тогда объем равен   v=(1/3)*12*25*√(3)=100*√(3). если 5 равен длинный катет, то короткий катет 5/√(3), гипотенуза 10/√(3), площадь основания (5/√(3))*(10/√(3))=50/3. высота пирамиды равна   h=√(13^2-  (5/√(3))^2)=√(482/3), а объем v=(1/3)*100*√(3)*√(482/3)=(100/3)√(482). ответ "некрасивый", наверное все же первый вариант, но в условии что-то пропущено.