А) бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до основи, як 5: 6.бісектриса кута при основі трикутника ділить висоту, проведену до основи, на відрізки, різниця між якими 4 см.обчисліть периметр трикутника. б) бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника перетинає висоту, опущену на основу у точці, що ділить її на відрізки 10 і 6 см.обчисліть довжину відрізків, на які ділить бічну сторону трикутника перпендикуляр, опущений з цієї точки.

1)пусть дан треугольник авс: ав=вс. вк- высота. т- точка пересечения биссектрисы ам и высоты вк. свойство биссектрисы угла треугольника : биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. рассмотрим треугольник авк: вт: тк= ав: вк=5: 3. значит вт на 4 больше, чем тк. тк=х, вт=х+4, (х+4): х=5: 3, 3х+12=5х, 2х=12, х=6, тк=6, вт=10, вк=16. так как по условию сказано, что ав: ас=5: 6, то обозначим ав=5t, ak=3t, по теореме пифагора ав²=ак²+вк² 25t²=9t²+256, 16t²=256, t²=16, значит t=4 ав=20, ак=12, ас=24 р=20+20+24=64 2) дан равнобедренный треугольник авс: ав=вс. высота вк. вт=10, тк=6. значит вк=16. и по свойству биссектрисы ав: ак=вт: тк=10: 6=5: 3 пусть ав=5х, ак=3х, тогда по теореме пифагора из прямоугольного треугольника авк: ав²=ак²+вк², 25х²=9х²+16². 16х²=16², х²=16, х=4, значит ав=20, ас=2ак=2·12=24. опустим перпендикуляр те  из точки т на сторону вс.  найдем ве и ес. из прямоугольного треугольника ткс: тк=6, кс=12, значит тс=√6²+12²=√36+144=√180=6√5. из прямоугольного треугольника вте: обозначим те=у, тогда ве=√(100-у²), из прямоугольного треугольника тсе: се=√(180-у²), так как ве+ес=вс, составим уравнение: √(100-у²) +√(180-у²)=20. это иррациональное уравнение. возводим в квадрат. √(100-у²)=20-√(180-у²). возводим в квадрат. 100-у²=400-40√(180-у²)+180-у², √(180-у²)=12, 180-у²=144, у²=36, у=6, значит ве=√100-36=√64=8, ес=√180-36=√144=12. перпендикуляр те делит боковую сторону на отрезки 8 и 12.

ответ: ∠АОС=120°; Р=18

Объяснение:  Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис.

Сумма углов треугольника 180° ⇒ ∠САВ+∠ВСА=180°-60°=120°. Биссектрисы АО и СО делят эти углы пополам, следовательно, 0,5∠ОАС+0,5∠ОСА=120°:2=60°.  

Из суммы углов треугольника угол АОС=180°-60°=120°

Стороны треугольника - касательные для вписанной окружности. Отрезки касательных от точки вне окружности до точек касания равны (свойство). ⇒ АМ=AK=4, BN=BM=2,  CN=CK=3. ⇒ Р=2•(2+3+4)=18 (ед. длины)

Примечание. Обозначения в решении даны согласно условию и рисунку к нему. Но, хотя ответ тот же,   по данным в условии величинам  не получится построить соразмерный рисунок. Должен быть при ∠В=60° отрезок СК=2, а ВМ=3. .  (См. рисунок приложения).

треугольник прямоугольный, 20, 21, 29 - пифагорова тройка.

поэтому радиус вписанной окружности r = (20+21-29)/2 = 6.

раз угол 45 градусов, высота равна этому радиусу, то есть ответ 6.

 

при равных углах наклона граней все апофемы равны между собой и их проекции - тоже, и эти проекции равноудалены от сторон, то есть это радиусы вписанной окружности. вот из треугольника, образованного высотой пирамиды, апофемой и радиусом вписанной окружности, и находится высота пирамиды. острым углом такого треугольника как раз является линейный угол двугранного угла, заданный в .