Доказать, что если квадраты стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию , то треугольник, сторонами которого служат медианы данного, подобен данному треугольнику.

Пусть   стороны треугольника   a,с,b   тогда   по   характеристическому свойству: a^2+b^2=2c^2   выразим так же:   по   формулам   медиан: 4m1^2=2a^2+2b^2-c^2 4m2^2=2a^2+2c^2-b^2 4m3^2=2b^2+2c^2-a^2 1) 4m1^2=3c^2     m1/c=√3/2  2)   поделим в нашем уравнении   каждое слагаемое на a^2 1+b^2/a^2=2c^2/a^2   2c^2/a^2-b^2/a^2=1 и во 2   уравнении 4m2^2/a^2=2+2c^2/a^2-b^2/a^2=3 m2/a=√3/2 3) поделим   в нашем уравнении на b^2 a^2/b^2+1=2c^2/b^2       2c^2/b^2-a^2/b^2=1 и в 3   уравнении 4m3^2/b^2=2+2c^2/b^2-a^2/b^2=3 m3/b=√3/2 откуда:   m1/c=m2/a=m3/b=√3/2 а   значит   эти   треугольники   подобны   по   3 пропорциональным   сторонам. чтд

Делаем рисунок к задаче.

Найдя второй угол при основании bc, обнаружим, что треугольник аbc - равнобедренный. А треугольник асh- половина равностороннего треугольника и аh в нем можно найти по формуле высоты равностороннего треугольника ( по теореме Пифагора получим тот же результат).

Найдем bc=2 аh=ас√3

Искомые отношения сторон равны, поэтому  

ас:bc=аb:bc=√3 :2 или ½√3

(в решении, данном во вложенном рисунке, опечатка, читаем ас:bc=аb:bc=√3)  

---------------------------

Принцип решения второго задания совершенно такой же. Решение во втором рисунке.  

 

Объяснение:

Объяснение:

1)

∆ADC- прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу

АС=√(AD²+DC²)=√(29+25)=√54.

∆ACB- прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу

АВ=√(АС²+СВ²)=√(54+36)=√90=3√10

ответ: АВ=3√10

2)

∆АСD- прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем катет

АС=√(AD²-CD²)=√(3²-2²)=√(9-4)=√5

∆ABC- прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем катет

АВ=√(АС²-ВС²)=√(5-3)=√2

ответ: АВ=√2

3)

∆ADC- прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу.

АС=√(АD²+DC²)=√(7²+6²)=√(49+36)=√85

∆ACB- прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу

АВ=√(АС²+СВ²)=√(85+15)=√100=10

ответ: АВ=10