Точка пересечения биссектрис острых углов при большей основе трапеции принадлежит ее меньшей основе. найти площадь трапеции, если ее боковые стороны равны 13 см и 20 см, а высота 12

Весь "секрет" в том биссектрисы отсекают от трапеции  равнобедренные треугольники, потому что биссектриса с боковой стороной и с обоими  основаниями образует одинаковые углы.  то есть меньшее основание равно сумме боковых сторон, то есть 13 + 20 = 33; если теперь провести высоты из концов мньшего основания, то трапеция разобьётся на прямоугольник со сторонами 33 и 12, и два треугольника. один имеет в качестве  гипотенузы боковую сторону  13, и высоту трапеции 12, как  один из катетов, откуда второй катет равен 5, аналогично во втором треугольнике гипотенуза 20, один из катетов 12, то есть второй катет 16. то есть проекции боковых сторон на большее основание равны 5 и 16. ясно, что большее основание равно 33 + 5 + 16 = 54; собственно, уже все найдено. площадь трапеции (33 + 54)*12/2 = 522;

"около 4-угольника вписать окружность" - крутая фраза. думаю, что вы имели в виду около 4-угольника описать окружность; на этом и остановимся. известно, что если  около 4-угольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны 180°. если же углы относятся как 5: 7: 8: 9, то первый угол меньше второго, третий меньше четвертого  ⇒сумма первого и третьего будет меньше суммы второго и четвертого. а как написано выше, сумма первого и третьего должна равняться сумме  второго и четвертого. ответ: нельзя 

b = 2a · sin α/2 - третья сторона треугольника, лежащего в основании пирамиды

s = 0.5 a · a · sin α = 0.5a²·sinα - площадь основания

проекцией бокового ребра на основание является радиус окружности, описанной вокруг основания

r = a · a · b/(4s) = a · a · 2a · sin α/2 : (4 · 0.5a²·sinα) = а/(2cos α/2)

h = √(a² - r²) = √(a² - a²/(4cos² α/2)) = a √(1 - 1/(4cos² α/2)) - высота пирамиды

объём пирамиды равен v = 1/3   · s · h =

= 1/3 · 0.5a² · sin α   · a√(1 - 1/(4cos² α/2)) =

= a³ · 2 sin α/2 · cos α/2 · √(4cos² α/2 - 1) / (6 · 2 cos α/2) =

= a³/6 · sin α/2 · √(4cos² α/2 - 1)