Втреугольнике abc на стороне ac проведена высота bk и медиана bm. am=bm. найти косинус kbm, если ab=1, а bc=2.

чертеж и весь счет во вложении.

заметим, что в правильной четырехугольной пирамиде основание высоты совпадает с точкой пересечения диагоналей основания (точка о на рисунке). следовательно, отрезок so перпендикулярен плоскости abc. так как прямая ac лежит в плоскости abc, то so⊥ac (угол soc прямой). тогда sc можно найти из теоремы пифагора для прямоугольного треугольника soc. нам понадобятся длины катетов so и oc.

ac - диагональ квадрата abcd. значит, ac = ad*√2. oc = ac/2.

диагональным сечением, очевидно, является треугольник sac. его площадь известна из условия.   зная ее и ac, находим so.

дальше вычисляем sc.

ответ: 10 см.

пусть d, e и f - точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника авс: ас, ав и вс соответственно.

нам дано: ав=30см, вf=14см, fc=12см.

заметим, что ве=вf=14см, dc=fc=12см, а ае=аd как касательные, проведенные из одной точки к окружности.

тогда ае=ав-ве=30-14=16см, значит аd=16см. dc=fc=12см.

значит ас=ad+dc=16+12=28см.

полупериметр треугольника равен: р=(30+26+28): 2=42см.

есть формула для вписанной в треугольник окружности:

r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/р], где р - полупериметр, а, b, c - стороны треугольника.

в нашем случае: r=√(12*16*14/42)=√64=8см.

ответ: r=8см.

или по формуле r=s/p, где s - площадь треугольника.

  площадь найдем по формуле герона:

s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]   или в нашем случае: s=√(42*12*16*14)=√(6*7*2*6*16*2*7)=6*7*2*4=336см².

r=336/42=8см.

ответ: r=8см.