Найдите все углы параллелограмма аbcd, если : 1)a=80 2)b-a=30. 3)a+c=140. 4)b=2a. 5)угол abd=90. 6)adb=30

Углы противоположные равны, угли при одной стороне составляют 180 градусов. получается 1) угол а=углу с=80, тогда угол в=180-угол а=100, и угол d равен тоже 100 2) в+а=180, в-а=30, значит 2в=210, в=105, и снова в=d  =105, тогда а=с=180-105=75 3) а+с=140 градусов - они равны между собой, тогда 140/2=70=а=с,  в=d=180-70=110 4) а+в=180, в=2а, а+2а=180, а=с=60, в=d=120 5) 

Первый вопрос, который надо выяснить - в каком отношении точка o делит bm. (в общем случае ответ дает теорема чевы (и ван-обеля), но в данном случае есть уникальная возможность сразу получить ответ.) я продлеваю сторону ab за точку b до точки d, так, что ab = bd; точку d я соединяю с вершиной c. в треугольнике adc bm - средняя линия, то есть bm ii dc; кроме того, отрезок cb играет роль медианы. поскольку bk: kc = 1: 2; точка k - центроид треугольника adc (ну, проще говоря, точка пересечения медиан). поэтому ak - часть медианы adc (при продолжении ak за точку k эта прямая разделит dc пополам в точке, которую я обозначу n). само собой, это означает, что ak делит пополам и bm (там подобные треугольники anc и aom, and и aob, и cn = nd => mo = ob). итак, точка o делит bm пополам. (кажется, я так длинно изложил, но "в голове" это всего один шажок). дальше все просто - из полученного следует, что от точки o до bc расстояние в 2 раза меньше, чем от точки m до bc. и bk = bc/3; поэтому площадь bok равна (1/2)*(1/3) = 1/6 от площади bmc; (ну, высота к основанию меньше в 2 раза, а само основание - в 3, роль "основания" играют bc и bk) а площадь bmc составляет 1/2 от площади abc (аналогично предыдущему замечанию в скобках, только тут "основания" - am  и ac, а высота  - расстояние от b до aс, в этом случае высота общая) ответ 1/12

вариант решения: пусть дана трапеция авсd, в которой точки e,g,f и н - середины сторон ав, вс, сd и ad соответственно. причем ef - средняя линия трапеции, а gh - отрезок, соединяющий середины оснований. ef=gh (дано). если в любом выпуклом четырехугольнике последовательно соединить середины сторон отрезками, то полученная фигура является параллелограммом, поскольку эти отрезки - средние линии треугольников, на которые делится четырехугольник своими диагоналями. наш четырехугольник является прямоугольником, так как его диагонали равны (ef=gh). в прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны, а диагонали в нашем случае параллельны сторонам, следовательно, диагонали взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.