Дан куб abcda1b1c1d1 с ребром а. найти длину его диагонали ac1.

Δabc: ac²=ab²+bc², ac²=2a²,  δacc₁: ac₁²=ac²+cc₁², ac₁=3a², ac₁=a√3.

Рассмотрим две окружности. первая:   окружность с центром o и радиусом ao=ob дуга угла aob = 360 - 2альфа вторая:   окружность с любым центром, где a,b и c принадлежат окружности. дуга угла acb = 2альфа, т.к. по теореме о вписанном угле угол измеряется половиной дуги. заметим, что если сложить дуги, то получится 360° 360° - 2альфа + 2альфа = 360° точки a и b - общие. значит центр второй окружности и есть точка o. если вы что-то не поняли или нашли ошибку, то напишите, , автору. 

углы, на которые разбивает биссектриса угол в 60°, равны по 30°.

на рисунке я обозначил c - гипотенуза, a - прилежащий к углу 60° катет, - отрезки, на которые биссектриса делит катет b.

далее, по свойству биссектрисы имеем

(1/2 из предыдущего вывода)

далее, рассмотрим прямоугольный треугольник с биссектрисой в качестве гипотенузы и запишем

по теореме пифагора в нем же

то есть

ответ: