Плоскости альфа и бета параллельны. а-точка плоскости альфа. докажите, что любая прямая, проходящая через точку а и параллельная плоскости бета, лежит в плоскости альфа

  если некоторая прямая а пересекает плоскость α то она пересекает также любую плоскость параллельную α.если а не параллельна плоскости β то она пересекала бы плоскость β значит и плоскость α а по условию α || β.значит а не может пересекать плоскость α и раз она имеет с плоскостью α общую точку а то а ⊂ α.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x^3+6x^2-1 на отрезке [-2;1]

Объяснение:

f(x)=2x³+6x²-1

f ’(х)=6х²+12х=6х(х+2),  f ’(х)=0.

6х(х+2)=0   ⇒х=0  или  х=-2.

Указанному отрезку принадлежат обе точки.

Определяем знаки производной при переходе через точки :

f ’      +[-2]------(0)------[1]+

x=–2 – точка максимума, производная меняет знак с + на – .

x=1 – точка минимума , производная меняет знак с - на + .

Найдем значения функции в найденных точках и на концах отрезка, чтобы выбрать наибольшее и наименьшее значение функции  :

f(-2)=2(-2)³+6(-2)²-1 =7,

f(1)=2*1³+6*1²-1 =7,

f(0)=2*0³+6*0²-1 =-1.

Наибольшее значение f(x)=7 на [-2;1] достигается в 2-х точках.

Наименьшее значение f(x)=-1 на [-2;1] достигается при х=0

Вычислить расстояние между серединами отрезков MN и PQ. Даны координаты точек: M(1;2;1) N(3;-1;4)

P(-2;3:-3) Q(-4;-2;2)​

Объяснение:

M(1;2;1) N(3;-1;4)  . О-середина MN , найдем  координаты О.

х(О)= ( х(M)+х(N) )/2 ,             х(О)= (1+3 )/2    , х(О)= 2  ;            у(О)= ( у(M)+у(N) )/2 ,            у(О)= ( 2-1 )/2  , у(О)= 0,5;

z(О)= ( у(M)+у(N) )/2 ,             z(О)= ( 1+4 )/2  , z(О)= 2,5;

О( 2 ;0,5; 2,5) .

P(-2;3:-3) Q(-4;-2;2)​ , А-середина РQ , найдем координаты т A.

х(A)= ( х(P)+х(Q) )/2 ,              х(A)= (-2-4 )/2    , х(О)= -3  ;              у(A)= ( у(P)+у(Q) )/2 ,             у(A)= ( 3-2 )/2  , у(О)= 0.5  ;

z(A)= ( у(P)+у(Q) )/2 ,               z(A)= ( -3-+2)/2  , z(О)= -0,5;

A( -3 ;0,5;-0,5)  .             .                                      

ОА=√(-3-2)²+(0,5-0,5)²+(-0,5-2,5)²=√(25+0+9)=√34 .