Плоскость, параллельная стороне ac треугольника abc, пересекает сторону ab в точк , а сторону bc - в точке . найдите ac, если =3 см, bc: b=4: 1.

Ядумаю так: так как плоскость параллельна ас, то в этой плоскости есть прямая, которая параллеьна ас. пусть этой прямой будет прямая а1с1. тогда треугольники авс и а1вс1 будут подобными по двум углам (в-общий, и углы при параллельных прямых). составляем пропорцию:

площадь параллелограмма sпар=7*5*sin a=35*sin a

через подобие треугольников образованных биссектрисами находим соотношение сторон четырехугольника, который одновременно является прямоугольником. соответственно большая сторона к большей биссектрисе, и меньшая к меньшей биссектрисе, т.е. 1/7 и 1/5.

находим биссектрисы:

малая биссектриса b1=5*2*sin a/2.

большая биссектриса b2=7*2*cos a/2.

малая сторона а1=2*sin a/2.

большая сторона а2=2*cos a/2

 

площадь прямоугольника sпр=2*sin a/2.* 2*cos a/2=4*sin a/2.*cos a/2

соотношение: sпар/ sпр=35*sin a/(4*sin a/2.*cos a/2) используя формулу sin 2α = 2sinα cosα

получаем:

sпар/ sпр=35*sina/(4*sina/2.*cos a/2)=35*2*(sin a/2.*cos a/2)/(4*sin a/2.*cos a/2)=35/2

ответ: sпар/ sпр=35/2

 

находите длину касательной вс (я считаю с - точкой касания, это ни на что не влияет, поскольку её положение неизвестно)

х^2 = (2+1)*1; x = корень(3);

теперь из 2 треугольников bcd и авс совершенно одинаковым способом находим dc и ас - по теореме косинусов

dc^2 = 1^2 + 3 - 2*1*корень(3)*cos(30) = 1; dc = 1;

ac^2 = 3^2 + 3 - 2*3*корень(3)*cos(30) = 3; ас =  корень(3);

получился треугольник dac со сторонами 1, корень(3), 2. это - прямоугольный треугольник, и радиус описаной вокруг него окружности равен 1.

 

тупое решение, но вполне годится : )) 

 

на самом деле, можно было уже на первом шаге догадаться - если bc =  корень(3), то перпендикуляр из точки с к вс пересечет ав в середине отрезка bd- пусть это будет точка о, и получается со = оa = od = 1, то есть о равноудалена от d, а и прямой вс, что нам и нужно. так-то вообще устная получилась. но способ, которым я вначале решил, годится при произвольных углах и отрезках.

 

опаньки! есть второе решение r = 7. дело в том, что я при решении предполагал, что точка касания лежит таким образом, что луч ав пересекается с препендикуляром из точки касания. но точка касания может лежать с другой стороны точки в, хотя и на том же расстоянии от в, равном корень(3). пусть это точка м. в этом случае центр   о находится как пересечение перпендикуляра к ав в середине ad (пусть это точка к) и   перпендикуляра к вс в точке м. они пересекутся в точке о, и угол мок = 30 градусам. проложим ок до пересечения с   вс (пусть это е), и легко найдем ве = 2/cos(30) = (4/3)*корень(3); поэтому ме = (7/3)*корень(3), и mo = r = (7/3)*корень(3)*ctg(30) = 7. 

 

да уж, торопиться не надо :