Дан пространственный четырехугольник abcd, в котором диагонали ac и bd равны. середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками. а)выполните рисунок к . б) докажите, что полученный четырехугольник – ромб.

середины сторон ab, bc, cd, da - точки к, l, m, n, лежат в одной плоскости.  действительно,  kn – средняя линия треугольника abd, kn - параллельна bd, кn=bd/2.  lm – средняя линия треугольника cbd, lm - параллельна bd, lm=bd/2.  kn и lm параллельны, точки k, n, l, m лежат в одной плоскости.  кn=lm=bd/2  кnlm – параллелограмм (причём всегда, равенство диагоналей не использовали)  аналогично, kl=mn=ac/2.  т.к. ac=bd, то  kl=lm=mn=nk.  параллелограмм, у которого все стороны равны – ромб.

Рассмотрим треугольники мак и мбк у них одна сторона(мк)  общая, другие стороны(ма и мв) равны по условию, т.к. мс бессектриса угла м, то угол кма равен углу вмс. теперь треугольники мак и мбк равны по двум сторонам и углу между ними. соответственно равны 2 елемента, а именно ак и кв ,  угол мка и мкв. теперь угол акс равен вкс т.к. углы, смежные с ними равны, сторона кс общая и как мы уже выяснили ак=вк, а это значит, что теперь треугольники скв и ска равны по двум сторонам и углу между ними.                                                   "решено"

Дано: abcd - равнобедренная трапеция, угол a = углу d = 30 градусов, bh и ck - высоты, ab = cd = 30 (см). ad || bc, bc = 14 (см), ad = 50 (см). найти: ac. решение: 1.проведём высоты bh и ck, следовательно найдём ah ah = (ad-bc)/2 = (50 - 14) /2 = 36/2=18 (см). 2. с прямоугольного треугольника abh (угол ahb = 90градусов): ah = 18 (см), ab = 30 (см), угол а =30градусов. определяем высоту bh. за т. пифагора ab² = ah² + bh² bh² = ab² - ah² bh= \sqrt{ab^2-ah^2} = \sqrt{30^2-18^2} = \sqrt{900-324} = \sqrt{576} =24 3. определяем диагональ ас. с прямоугольного треугольника ack (угол akc = 90градусов) за т. пифагора ac^2=ck^2+ak^2 \\ ak=bc+ah=14+18=32 \\ ac= \sqrt{ck^2+ak^2} = \sqrt{24^2+32^2} = \sqrt{576+1024} = \sqrt{1600} =40 ответ: ac = 40 (см).