Коло, вписане у прямокутну трапецію, точкою дотику, ділить бічну сторону на відрізки 3 см і 12 см. знайдіть радіус вписаного кола, якщо периметр трапеції 54 см.

Обозначим радиус вписанной окружности - r. у трапеции, в которую вписана окружность, сумма боковых сторон равна сумме оснований. вертикальная сторона трапеции равна 2r, наклонная - 3 + 12 = 15 см. сумма оснований - тоже 2r + 15. по условию периметр равен 54 см: 2( 2r + 15) = 54 4r + 30 = 54 4r = 54 - 30 = 24 r = 24 / 4 = 6 см.

Дано: авсд - ромб угол а = 30 градусов  вм и вк - перпендикуляры вм = 5 см найти :   р = авсд = ? решение : у нас образовался прямоугольный треугольник - вам угол а = 30 градусов угол м = 90 градусов ( т. к. проведен перпендикуляр вм ) отсюда следует, что угол в = 60 градусов   (так как   сумма углов треугольника равна 180 градусов 180 - 120 = 60 градусов ) ,  а вм = 5 см ( по условию) вм   катет, лежащий против угла 30 градусов ( мы знаем теорему , что угол лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы ) а гипотенузой является сторона ав значит она равна 10 см ( 5см + 5см = 10 см) теперь мы находи р = ромба = ? р = авсд = 10 см * 4 ( стороны ) = 40 см ( так как все стороны ромба равны мы умножаем на четыре) , отсюда следует что р = авсд = 40 см. 

Стороны прямоугольника х и у. тогда:   ху=20 - это площадь прям-ка  2х"+2у"=208 - это сумма квадратов сторон прям-ка( всего сторон 4, и они попарно равны)  составляем систему и решаем ее. для этого :   1). умножим ур-е ху=20 на 2 , а второе ур-е разделим на 2, и сложим, получим:   х"+2ху+у"=20*2+208: 2  (х+у)"=144  х+у=12 ( отрицательный результат невозможен, т.к. х,у - стороны)  2). решаем получившуюся новую систему ур-й  ху=20  х+у=12  по т. виета х=2, у=10 (или наоборот, что для неважно)  ответ: стороны прямоугольника 2 и 10