Отрезок mn-средняя линия трапеции abcd с большим основанием ad. найдите отрезок mn, если ab=3√5 см, dc=4√5, а периметр трапеции равен 21√5

1/2*3√5*4√5=

Даны вершины четырехугольника:   a(1; 5), b(3; 1), c(1; -3) и d(-1; 1). сторона ав (модуль вектора): |ав|=√[(3-1)²+(1-5)²] =√(4+16)=√20. сторона dc:   |dc|=√[())²+(-3-1)²]=√(4+16)=√20. противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны (по признаку -  отношения их координат ав{2; -4} и dc{2; -4} равны: 2/2=-4/-4=1). если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон. найдем стороны ad и вс (достаточно стороны ad, так как в параллелограмме противоположные стороны равны). |ad|= √[(-1-1))²+(1-5)²]=√(4+16)=√20. итак, наш четырехугольник ромб или квадрат (все стороны равны). следовательно, в него можно вписать окружность. уточним. если в ромбе один из углов прямой, то это квадрат. условие перпендикулярности векторов: векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: xa*xb + ya*yyb = 0 .  у нас вектор ав{2; -4}, вектор вс{-2; -4}. тогда -4+16 не равно нулю. значит авсd - ромб. диаметр вписанной окружности - отрезок, равный расстоянию между противоположными сторонами. найдем расстояние от вершины в(3; 1) до прямой ad. уравнение прямой ad: (x-xa)/(xd-xa)=(y-ya)/(yd-ya)  => (x-1)/(-2)=(y-5)/(-4) - каноническое уравнение. отсюда 2x-y+3=0 - общее уравнение с коэффициентами а=2, в=-1, с=3. искомое расстояние (по формуле): d=|a*xb+b*yb+c|/√(a²+b²) = |6+(-1)+3|/√5 =8/√5. это диаметр. радиус r=4/√5. центр (о) окружности расположен на середине любой из диагоналей ромба.  например, на середине диагонали  bd. найдем этот центр: о(1; 1) (как находить координаты середины отрезка, мы уже показали). тогда уравнение окружности  (x-xc)²+(y-yc)²=r²: (x-1)²+(y-1)²=3,2.

1) уравнение прямой а1а2 ax+by+c=0 подставляем координаты точек а1 и а2 -5а+2b+c=0 5a+b+c=0 сложим 3b+2c=0 пусть с= -15 тогда b=10 a=1 а1а2 x+10y-15=0 нормализованное уравнение прямой к=√(1+100)=√101 x/√101+10y/√101-15/√101=0 сделаем сразу пункт 5) подставляем координаты точки а4 в нормализованное уравнение 5/√101+160/√101-15/√101=150/√101 2) точка м - середина а1а3 м(-2.5; 3) подставляем а2и м в уравнение прямой 5а+b+c=0 -2.5a+3b+c=0 или -5а+6b+2c=0 сложим 7b+3c=0 пусть с= -7 тогда b=3 a=0.8 медиана 0.8x+3y-7=0 вектор а1а3(5; 2) высота проходит через точку а2(5; 1) и перпендикулярна а1а3 перпендикулярный вектор (2; 5) ещё одна точка на высоте a2+(2; 5)= (7; 6) подставляем координаты точек в уравнение прямой 5a+b+c=0 7a+6b+c=0 вычтем 2a+5b=0 пусть а= -5 тогда b=2 c=23 высота -5x+2y+23=0 3) вектора а2а1(-10; 1) длина√101 а2а3(-5; 3) длина √34 косинус угла а2 а2а1*а2а3/|а2а1|/|а2а3|=53/√101/√34=53/√3434 4) площадь а1а2а3= 1/2 |а2а1ха2а3| =25/2=12.5