Основание и сумма двух других сторон одного равнобедренного треугольника, равны основанию и сумме двух других сторон другого равнобедренного треугольника.докажите, что такие треугольники равны.

1)  т.к. тр-ки по усл р/б , то каждая сумма сторон состоит из двух одинаковых слагаемых (длин боковых сторон), т. о. поделив каждую сумму сторон на два, мы получим дину   боковой  стороны каждого из р/б треугольников, но по усл сказано, что суммы равны, следовательно, равны и боковые стороны р/б треугольников. 2)  основания по условию тоже равны. след, данные  треугольники равны по трем сторонам. чтд.

Объяснение:

∠C=60∘; AC = \sqrt{2} + \sqrt{6}AC=2+6 ; BC = 2\sqrt{2}BC=22 .

Объяснение:

1) Найдём \angle C∠C :

Сумма внутренних углов треугольника равна {180}^{\circ}180∘ .

\Rightarrow \angle C = {180}^{\circ} - (\angle A + \angle B) = {180}^{\circ} - ({45}^{\circ} + {75}^{\circ}) = {60}^{\circ}⇒∠C=180∘−(∠A+∠B)=180∘−(45∘+75∘)=60∘

2) Найдём BCBC :

По теореме синусов: \dfrac{AB}{\sin(C)} = \dfrac{BC}{\sin(A)}sin(C)AB=sin(A)BC

\Rightarrow BC = \dfrac{AB \cdot \sin(A)}{\sin(C)} = \dfrac{2\sqrt{3} \cdot \sin({45}^{\circ})}{\sin({60}^{\circ})} = \dfrac{2\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} }{\dfrac{\sqrt{3} }{2} }=\sqrt{3} \cdot\sqrt{2}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{3} } = 2\sqrt{2}⇒BC=sin(C)AB⋅sin(A)=sin(60∘)23⋅sin(45∘)=2323⋅22=3⋅2⋅32=22

3) Найдём ACAC :

Пусть xx - AC.AC.

По теореме косинусов:

AB = \sqrt{{BC}^{2} + {AC}^{2} - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(C)}AB=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cos(C)

(2\sqrt{3})^{2} = (2\sqrt{2})^{2} + x^{2} - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot x \cdot cos(60^{\circ})(23)2=(22)2+x2−2⋅(22)⋅x⋅cos(60∘)

\begin{gathered}12 = 8 + x^{2} - (2\sqrt{2})x\\12 - 8 - x^{2} +( 2\sqrt{2}) x = 0\\-x^{2} + (2\sqrt{2}) x +4 = 0\\x^{2} - (2\sqrt{2}) x - 4 = 0\end{gathered}12=8+x2−(22)x12−8−x2+(22)x=0−x2+(22)x+4=0x2−(22)x−4=0

\begin{gathered}\\x = \dfrac{-(-2\sqrt{2})\pm\sqrt{(-2\sqrt{2})^{2}-4\cdot1\cdot(-4) } }{2\cdot1}\end{gathered}x=2⋅1−(−22)±(−22)2−4⋅1⋅(−4)

\begin{gathered}x = \dfrac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{8 + 16} }{2} \\x = \dfrac{2\sqrt{2} \pm2\sqrt{6} }{2} \\ x_{1} = \sqrt{2} + \sqrt{6} \\x_{2} = \sqrt{2 } - \sqrt{6}\end{gathered}x=222

∠1 и ∠3 ; ∠2 и ∠4 - являются вертикальными (по определению).

Естественно, что ∠1 - ∠3 ≠ 37° и ∠2 - ∠4 ≠ 37°, так как по свойству вертикальных углов они равны, (это значит, если вычитать из вертикального угла вертикальный этому углу угол, то получиться 0°).

То есть делаем вывод, что в условии имеется ввиду разность смежных углов.

∠1 и ∠2 - смежные (∠1 > ∠2).

Поэтому, по выше сказанному, пусть ∠1 - ∠2 = 37°.

Смежные углы в сумме дают 180°.

Составим систему и решим её (решим с сложения) :

\{ {\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} } \atop {\angle 1 - \angle 2 = 37^{\circ}}} .

Складываем обе части уравнений и приводим подобные слагаемые :

∠1 + ∠2 + ∠1 - ∠2 = 180° + 37°

2∠1 = 217° ⇒ ∠1 = 217° : 2 = 108,5°.

Вернёмся во второе уравнение системы, подставим туда значение ∠1 и найдём значение ∠2 :

∠1 - ∠2 = 37°

108,5° - ∠2 = 37°

-∠2 = 37° - 108,5°

-∠2 = -71,5° ⇒ ∠2 = 71,5°.

По выше сказанному :

∠1 = ∠3 = 108,5°

∠2 = ∠4 = 71,5°.

108,5°, 71,5°, 108,5°, 71,5°.