Втрапеции диагонали пересекаются в точке, через которую проведён отрезок, соединяющий боковые стороны параллельно основанию. отношение площадей треугольников с вершиной в точке пересечения и основаниями, равными основаниям трапеции, равно 9 : 1. найдите отношения площадей трапеций, на которые делит исходную трапецию данный отрезок.

Abcd - трапеция; ad - нижнее основание; bc - верхнее основание; o - точка пересечения диагоналей. ef проходит через точку o и параллельно основаниям. mn проходит через точку o и перпендикулярно основаниям - высота трапеции. e∈ab; f∈cd; m∈bc; n∈ad тр-к boc подобен тр-ку aod. отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответственных линейных размеров, т.е. сторон и высот. значит, ad: bc=3^: 1; mo: on=1: 3; mo: mn=1: 4; пусть bc=x⇒ad=3x; mo=y; ⇒on=3y; mn=4y площадь трапеции abcd равна: s=1/2(ad+bc)*mo=1/2(x+3x)*4y=8xy выразим через s площади befc  и aefd. площадь aefd равна сумме площадей aofd  и aeo. рассмотрим тр-ки acd и ocf. они подобны. их высоты относятся как 4: 1, а площади как 16: 1. площадь acd равна 1/2*3x*4y=6xy. площадь ocf равна 1/16*6xy=3/8*xy. площадь aofd  равна разности площадей acd и ocf: 6xy-3/8*xy=45/8*xy рассмотрим тр-ки abc и aeo. они подобны. их высоты относятся как 4: 3, а площади как 16: 9. площадь abc равна 1/2*x*4y=2xy. площадь aeo равна 9/16*2xy=9/8*xy. площадь aefd  равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy площадь befc равна разности площадей abcd и  aefd: 8xy-27/4*xy=5/4*xy s(befc): s(aefd)=5/4*xy: 27/4*xy=5: 27

1. 2х-5у+20=0

с осью ох   => y=0   => 2x-5·0+20=0

                                        2x=-20

                                          x=-10

получили точку  (-10; 0).

с осью оy   => x=0   => 2·0-5y+20=0

                                        -5y=-20

                                          y=4

получили точку  (0; 4).

 

2. x²+6x+y²=0

    (x²+6x+9)+y²=0+9

    (x+3)²+y²=3²

окружность радиуса 3 с центром (-3; 0).

если ав - диаметр, то ав=6

значит, ав является диаметром.

 

3. чертежи во вложении.

Дано: ем=mf; pm=mq. даказать: ре║eq. cоединим точки ер; pf; fq и eq. получим 4-х угольник epfq.  его диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит это параллелограмм и по его определению pe║eq.                                           или рассм.δemq и  δpfm. pm=mq; em=mf по условию.  ∠pmf=∠emq -  вертикальные.⇒  δemq=δpfm по 2-м сторонам и углу между ними. ⇒∠fpq=∠pqe - накрест лежащие при прямых pe; eq и секущей pq. ⇒ pe║eq.