Якою має бути довжина хорди кола, радіус якого дорівнює r, щоб довжини дуг, на які кінці цієі хорди поділяють коло, відносилися як 2 : 1

Хорда ав, дуга ав/дуга ва=1/2=1х/2х, дугаав+дугава=360=х+2х=3х, х=120, проводимо радіуси оа та ов трикутник аов рівнобедрений, кут аов-центральний=дузіав=120, проводимо висоту он на ав=медіані=бісектрисі, ан=нв, кут аон=1/2кутаов=120/2=60, кут оан=90-60=30, оа=r, он=1/2оа=r/2, ан=корінь(оа в квадраті-он в квадраті)=корень(r в квадраті-r в квадраті/4)=r*корінь3/2, ав=ан*2=2*r*корінь3/2=r*корінь3 - хорда

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. aod - прямоугольный треугольник. ор - высота из прямого угла в треугольнике aod. ор=√(ар*рd)=√(6√3*2√3)=6см. по пифагору ао=√(ар²+ор²)=√(108+36)=12см. r=aj=jo=jp = ао/2 = 6см. площадь круга sк=π*r²=36π. в прямоугольном треугольнике аро катет ор равен половине гипотенузы ао, значит < pao=30°, < рак=60° (так как ао - биссектриса < pak) => дуга рок=120°. < pjk=120°(центральный угол, опирающийся на дугу рок). рн=0,5*ар=3√3см (катет против угла 30°). ah=√(ар²-рh²)=√(108-27)=9см. площадь треугольника акр равна sapk=ah*ph=9*3√3=27√3см². площадь сегмента кор равна skop=(r²/2)*(π*α/180 -sinα) - формула. в нашем случае α=< pkj =120°. skop=(36/2)*(π*120/180 -√3/2) skop=(12π-9√3)см². искомая площадь равна s=sк-sapk-skop = 36π-27√3-12π+9√3 = (24π-18√3)см².

1)плоскость параллельна ав, значит отрезок км принадлежащий и плоскости а и плоскости авс - параллелен ав. значит тр-ки авс и кмс подобны. из подобия имеем: ав/км=ас/кс  или ав/36=18/12.. отсюда ав = 54см. 2) в равнобедренном тр-ке авс высота вd1 к основанию ас является и медианой, то есть ad1=ac/2 = 16cм. тогда высота bd1 по пифагору равна  √(34²-16²) = 30см. в прямоугольном тр-ке вdd1 гипотенуза dd1 = √(bd1²+bd²)= √(900+400)  ≈ 36cм. синус угла между плоскостями авс и adc - это sin < dd1b = bd/dd1 = 0,56. значит угол равен 34°