Вравностороннем треугольнике авс точка о-пересечения высот, проведенных из вершин к основаниям. определите меньший угол между высотами треугольника (в градусах)

Давай, треугольник равносторонний значит высоты будут и биссектрисами   углов, а углы =60, пусть высота сн, возьмем треугольник ано, прямоугольный , угол нао=30, значит угол ноа=60 ( сумма острых углов в прямоугольном треугольнике   =90) вот тебе и меньший угол при пересечении высот, а другой будет тупой и =120

средняя линяя равна полусумме оснований, а сумма оснований равна сумме боковых сторон, раз в трапецию можно вписать окружность (это следует из равенства касательных, проведенных из одной точки - каждая из сторон представляется в виде суммы отрезков от вершины до точки касания, и получается, что суммы противоположных сторон - это суммы четырех в общем случае различных отрезков, но в каждую сумму входит по одному такому отрезку).

ну, раз трапеция равнобедренная, то полусумма оснований равна боковой стороне, что и требовалось.

построим ровносторонний треугольник со стороной а.

отметим точку в 15 см от плоскости так, что отрезки проведенных от этой точки до вершин треуголоьника были равны 25..отсюда следует:

если эти отрезки равны, то равны и их проекции в данном случае это r радиус описанной окружности

из прямоугольного треугольника где гипотенуза это отрезок = 25, а катет это перпендикуляр опущенный из точки на плоскость = 15

по теореме пифагора найдем второй катет, т.е r

r² = 625 - 225 = 400

r = 20 см

r = 2h/3

h треугольника = 3 * 20/2 = 30 см

опустим перпендикуляр на основание треугольника, она же высота = 30 см

так же по теореме пифагора:

а² = (а/2)² + 900

3а²/4 = 900

а = √1200

s треугольника = а²√3/4 = 1200*√3/4 = 300√3