Длины сторон треугольника прямо пропорциональны числам 3, 4, 5 найдите длины этих сторон если периметр треугольника равет 48 сантиметрам

Пусть x= 1часть составим уравнение: 3x+4x+5x=48 12x=48 x=4 4*3=12см - 1-ая сторона 4*4=16см - 2-ая сторона 4*5=20см - 3-яя сторона

разделим решение на 2 части: анализ и нахождение величин  

1) анализ  

обозначим боковые стороны и меньшее основание за x  

длина той части высоты, которая ближе к меньшему основанию - м (далее - во)  

длина той части высоты, которая ближе к большему основанию - б (далее - он)  

пусть трапеция - abcd. bc - меньшее основание, аb и cd - боковые стороны.  

проведём высоту bh, диагональ - ас. точка пересечения - о  

треугольники овс и она - подобные (оба прямоугольные, есть вертикальные углы аон=вос)  

тогда ан = вс* (он/во) = х* (б/м)  

площадь трапеции: s = bh*(bc+ad)/2 = bh*(bc+ah) = 18*x*(1+б/м)  

итак, осталось найти х.  

поясню, почему требуется обозначения б и м. есть 2 решения (в зависимости от того, какие длины мы присвоим отрезкам он и во) . поэтому будут 2 значения б/м:  

б/м = 10/8 или б/м = 8/10  

 

2) нахождение величин  

обозначим угол всн = t (дальше легче писать)  

cos (t) = ah/ab = (x*(б/м)) /x = б/м.  

sin (t) = вн/ав = 18/х  

cos^2(t) + sin^2(t) = 1  

(б/м) ^2 + 324/x^2 = 1  

324/x^2 = 1 - (б/м) ^2  

так как 324/x^2 > 0, то приходим, что б/м = 8/10. (т. е. второго решения больше нет) .  

итого: 324/x^2 = 1 - (8/10)^2 = 0,36  

x = 30  

s = 18*x*(1+б/м) = 18*30*(1+ 8/10) = 972

решение:

1) т.к. диагонали прямоугольника равны 8, следовательно при пересечении диагоналей в прямоугольнике длины их половин равны 4.

2) т.к. диагонали ас и вd равны , следовательно треугольник аов равнобедренный, следовательно углы при стороне ав равны

3) зная, что диагонали пересекаются под углом в 60 градусов, можно найти градусные меры двух неизвестных углов:

(180-60) : 2 = 60(гр.) - углы при стороне ав

4) т.к. все углы равны, можно сказать, что треугольник - равносторонний, следовательно меньшая сторона треугольника равна 4 .

ответ: ав = 4