Определить острые углы прямоугольного треугольника , если медиана проведенная к гипотенузе прямой угол разделяет в отношении 1: 3​

ответ:

22,5 градуса, 67,5 градуса.

объяснение:

дано: δавс - прямоугольный, ∠в=90°, вм - медиана, ∠авм\∠мвс=1\3.

найти ∠а, ∠с.

медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

поэтому δамв - равнобедренный ам=вм, и δмвс - равнобедренный, вм=см.

пусть ∠авм=х°, тогда ∠мвс=3х°, что в сумме составляет 90°.

х+3х=90;   4х=90;   х=22,5.

∠а=∠авм=22,5°,   ∠с=∠мвс=22,5*3=67,5°.

медиана   ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

вспомним одно из свойств медианы:

медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

то есть:

ао=со=во

рассмотрим треугольники аов и сов

они равнобедренные, то есть

∠вао=∠ова   и ∠овс=∠осв

угол в прямой(=90*) в сказано,что он разделен в отношении 3 к 1 медианой.

допустим,что х-   ∠овс, а 3х ∠ова

х+3х=90*

4х=90

х=90/4

х=22.5* -∠ овс=∠осв

∠вао=∠ова=3х=22.5*3=67.5*

проведем перепендикуляры к боковым сторонам. образовалось 2 треугольника. поскольку треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. поскольку у тебя дано, что расстояние берем от середины основания, то в двух этих новый маленьких треугольниках гипотенузы равны, так как равны эти половинки. тогда, рассмотримм 2 маленьких треугольника. они равны по двум углам (один - 90 градусов, второй - угол при основании равнобедренного треугольника) и стороне - гипотенузе. раз треугольники равны, значит равны и все их элементы. => равны и катеты, то есть перепендикуляры к боковым сторонам, а значит и расстония от середины до боковых сторон.

 

используем теорему пифагора

 

ab^2=ad^2+bd^2=9+bd^2

 

bc^2=dc^2+bd^2=4   ==>   bd^2 = 4-dc^2

 

подставим   в первое уравнение 

 

ab^2 = 9+bd^2 =  9+4-dc^2 =  13 - dc^2

 

ab^2 + bc^2 = (ad+dc)^2   ==> ab^2=(ad+dc)^2-bc^2=(3+dc)^2-2^2=(3+dc)^2 - 4

 

следовательно можно приравнять правые части уравнений

 

13 - dc^2 =  (3+dc)^2 - 4   ==>   (3+dc)^2 - 4 - 13 +  dc^2 =0   ==>

 

9+6*dc+dc^2 - 4 - 13 +  dc^2 =0   ==> 2*dc^2 +  6*dc -8 =0

 

d=36-4*2*(-8)=36+64=100=10^2

 

dc=(-6+10)/(2*2)=4/4=1

 

ab^2 = 13 - dc^2 = 13 - 1 = 12   ==>   ab=2*3^(1/2)

 

bd^2=ab^2-9 = 12 - 9 =3   ==> db=3^(1/2)