Впрямоугольную трапецию abcd с прямым углом при вершине а вписана окружность, касающаяся оснований bc и ad в точках h и q соответственно. 1) докажите, что диагонали трапеции делят отрезок hq в одном и том же отношении 2)найдите наибольшее основание трапеции ad, если меньшее основание bc=4, и прямая hq делит площадь трапеции в отношении 29: 20, то есть площадь abhq: площадь dchq= 20: 29.

Нахождения произвольного угла в  трапеции  требует достаточного количества дополнительных данных. рассмотрим пример, в котором известны два угла при основании  трапеции. пусть известны углы ∠bad и ∠cda, найдем углы ∠abc и ∠bcd. трапеция обладает таким свойством, что сумма углов при каждой боковой стороне равна 180°. тогда ∠abc = 180°-∠bad, а ∠bcd = 180°-∠cda.2в другой может быть указано равенство сторон  трапеции  и какие-нибудь дополнительные углы. например, как на рисунке, может быть известно, что стороны ab, bc и cd равны, а диагональ составляет с нижним основанием угол ∠cad = α.рассмотрим треугольник  abc, он равнобедренный, так как ab = bc. тогда ∠bac = ∠bca. обозначим его x для краткости, а ∠abc - y. сумма углов любого треугольника равна 180°, из этого следует, что 2x + y = 180°, тогда y = 180° - 2x. в то же время из свойств  трапеции: y + x + α = 180° и следовательно 180° - 2x + x + α = 180°. таким образом, x = α. мы нашли два угла  трапеции: ∠bac = 2x = 2α и ∠abc = y = 180° - 2α.так как ab = cd по условию, то трапеция равнобокая или равнобедренная. значит,  диагонали  равны и равны углы при основаниях. таким образом, ∠cda = 2α, а ∠bcd = 180° - 2α.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, образуя 4 треугольника δcod :     ∠cod = 60° oc = 20/2 = 10 см od = 12/2 = 6 см теорема косинусов cd² = oc² + od² - 2*oc*od*cos 60° =         = 100 + 36 - 2*10*6* 0,5 = 76 cd =  √76 = 2√19 δcob :     ∠cob = 180° - 60° = 120° oc = 20/2 = 10 см ob = 12/2 = 6 см теорема косинусов cb² = oc² + ob² - 2*oc*ob*cos 120° =         = 100 + 36 - 2*10*6*(-0,5) = 136 + 60 = 196 cb =  √196 = 14 проверка по свойству диагоналей d₁² + d₂² = 2(a² + b²) 20² + 12² = 2(14² + (2√19)²) 400 + 144 = 2(196 +76) 544 = 544 ответ: стороны параллелограмма  14 см    и  2√19 см