Аня нарисовала квадрат abcd. затем она построила равносторонний треугольник abm так, что вершина m оказалась внутри квадрата. диагональ ac пересекает треугольник в точке k. докажите, что ck = cm.

Очевидно что вершина  будет симметрична относительно сторона , и будет лежать на одной прямой с точкой пересечения диагоналей. положим что сторона квадрата равна  .  так как треугольник  - равносторонний , следует что    ,  .      тогда      то есть    откуда     теперь положим что    верно , тогда должно выполнятся условие     найдем эти углы  по теореме косинусов подставим известные величины  откуда      то есть условия выполняются , то есть наше изначальное предположение было верно   

Все стороны правильного многоугольника равны, следуя условию, проведенная сторона bf- является основанием полученного равнобедренного треугольника fab теперь надо найти сторону этого равнобедренного треугольника и следовательно -  искомую сторону правильно шестиугольника нужно найти угол правильного шестиугольника по формуле угол=(к-во сторон-2)/2*180  градусов угол шестиугольника= 6-2/6*180=120 значит угол равнобедренного треугольника fab равен 120 град, а его основание равно √243 теперь можно найти неизвестную сторону по формуле боковая сторона= основание/2sin(угол при вершине, равный 120 град./2) наш угол равен 120, делим на 2=60 боковая сторона= √243/2sin60 синус 60=√3/2, умножаем его на 2, = 2√3/2, сокращаем двойки и получаем просто √3 при делении дробь переворачиваем и получаем 1/√3 сторона = √243*1/√3 корни сокращаются на 3 будет √81/√1=9/1=9 ответ: 9

Призма авсда1в1с1д1, в основании квадрат, ас=вд=2*корень2, ав=вс=сд=ад=корень(ас в квадрате/2)=корень(8/2)=2, о-пересечение диагоналей,  ас1-диагональ призмы, проводим ок параллельно ас1 на сс1, треугольник вкд-сечение призмы, ок-высота треугольника  равнобедренного  вкд, ок=2*площадь сечения/вд=2*2*корень3/(2*корень2)=корень6, треугольник ас1с прямоугольный, ок-средняя линия треугольника=1/2ас1, ас1=2*корень6, треугольник ас1с прямоугольный ,  сс1=корень(ас1 в квадрате-ас в квадрате)=корень(24-8)=4 - высота призмы площадь полная=2*площадь основания+площадь боковая=2*ад*сд+периметр*высота = 2*2*2+4*2*4=40