Вравнобедренном треугольнике klm с основанием km проведена биссектриса ms. найдите углы треугольника klm, если угол msk равен 105 градусов

В  δkms угол rms = x, угол skm = 2x , а угол ksm = 105   x + 2x + 105 = 180 3 x = 180 - 105 3 x = 75 x = 25 ( угол kms) 25·2 = 50 (угол skm)

Биссектрисы внутренних односторонних углов взаимно перпендикулярны, поэтому этот четырехугольник - заведомо прямоугольник. чтобы он был квадратом, достаточно доказать равенство смежных сторон.  квадрат отличается от прямоугольника тем, что симметричен относительно диагоналей.  у полученного прямоугольника противоположные вершины лежат на прямых, проходящих через  середины противоположных сторон  исходного прямоугольника.  поскольку исходный прямоугольник переходит в себя при отражении относительно этих прямых, то и полученный при пересечении биссектрис прямоугольник тоже симметричен относительно этих прямых (то есть переходит в себя при отражении), то есть - относительно своих диагоналей.  значит,  это квадрат. 

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: пусть b = 6 - сторона квадрата. найдём а = оа - половину диагонали ас. диагонали разбивают квадрат на 4 одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника, в нашем случае с боковыми сторонами, равные а. считаем а по теореме пифагора: теперь находим угол α между векторами. переместим параллельно вектор оа, совместив его начало с точкой d. тогда сразу становится ясно, что угол между векторами оа и dc равен 135°. вычисляем скалярное произведение: