Сторона ac в треугольнике abc равна 10 и bc=2* ab. найти длину медианы bm , если известно, что расстояние от точки aдо прямой bm равно 4.

у любого четырехугольника, вписанного в окружность, суммы пар противоположных углов равны 180о.

если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.

около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равны 180 градусам  в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

1)для начал сами углы   этого четырехугольника 

обозначим   точку пересечения как о1, тогда   если обозначит   во1=х   следует что о1д=3х

так как радиус равен r=d/2

при пересечении двух хорд окружности, получаются отрезки, произведение которых у одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

тогда x*3x=y/2*y/2

  3x^2=y^2/4

  y=v12x где v-кв корень

y/2=v12*x/2

значит получим равнобедренный треугольник   асд рассмотрим его ,   по теореме пифагора   найдем   ад=v9x^2+12x^2/4=v48x^2/4=4xv3/2=2xv3

теперь по теореме косинусов найдем   сам угол адс ,

ac^2=ad^2+dc^2-2*ad*dc*cosa

12x^2=12x^2*2-2*12x^2*cosa

12x^2-24x^2 = -24x^2*cosa

-12x^2/-24x^2=cosa

cos=1/2

a=60гр   то есть угол адс равен 60 гр

теперь другие

abc угол   равен 

12x^2=8x^2-8x^2*cosa

-4x^2/8x^2=cosa

cosa=-1/2 

a=120гр 

abc = aoc = 120 (ромб)

потому что вписанный угол в 2 раза меньше центрального на той же хорде ac.bad = bcd = 90, потому что они опираются на диаметр.

и окончательно ответ  

градусные меры дугab = bc = 60cd = ad = 120

 

2)

  найдем сначала стороны по пифагору 

24/2=12

12^2+9^2=15^2

теперь угол

15^2=15^2+24^2-2*15*24*cosa

sina=3/5

по теореме синусов 

15/3/5=2r

r=12.5

теперь вписанную

по формуле r=b/2*v(2a-b )/ (2a+b)     =     12v(30-24)/(30+24))     =12v6/54=12*1/3=4см 

ответ r=12.5   r=4см