1) высота сд прямоугольного треугольника авс отсекает от гипотенузы ав длиной в 9см отрезок ад, равный 4см. докажите, что треугольник авс подобен треугольнику асд и найдите ас. 2) диагонали ас и вд четырехугольника авсд пересекаются в точке о; ао=18см, ов=15см, ос=12см, од=10см. докажите, авсд- трапеция.

1. ∠асв = ∠adc = 90° ∠a - общий для треугольников acd  и авс, ⇒ δacd подобен авс по двум углам. из подобия следует: ас : ad = ab : ac ac² = ad · ab = 4 · 13 = 52 ac = √52 = 2√13 см 2. ао : ос = 18 : 12 = 3 : 2, bo : od = 15 : 10 = 3 : 2, ∠аов = ∠сod как вертикальные, ⇒ δаов подобен cod по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, ⇒ ∠сав = ∠acd, а эти углы - накрест лежащие при пересечении прямых ав и cd секущей ас, значит ав║cd, и значит abcd - трапеция.

из вершины в на аd опустим перпендикуляр, назовем его вк. тогда, т.к. в треугольнике авd стороны ав и вd равны получим, что вк-медиана, биссектриса и высота в треугольнике авd. значит вк разделила аd пополам, то есть ак=кd=12/2=6. 

по основному тригонометрическому тождеству находим cos а=корень из 1-sin квадрат а, то есть корень из 1-0,64=0,6.

из треугольника авк соs а= ак/ав, значит ав=ак/cos a

ав=6/0,6=10

по теореме пифагора из треугольника авк 

вк=корень из ав квадрат минус ак квадрат

вк=корень из 100-36= 8, 

тогда площать параллелограмма авсd=аd*вк=12*8=96

пусть ∠вас =α, тогда ∠авс = 90⁰ - α

поскольку δамс - равнобедренный (по условию ам =мс), то ∠мса = α,

а ∠мсв =  90⁰ - α. таким образом, в δвмс два угла при основании вс равны

∠мсв = ∠авс = 90⁰ - α, следовательно δвмс - равнобедренный, и мв =мс.

но ам =мс, поэтому ам = мв.

медиана ме делит сторону ас пополам, но и точка м делит сторону ав пополам. получается, что ме - средняя линия δавс, а средняя линия тр-ка всегда параллельна основанию. поэтому ме параллельно вс, что и требовалось доказать.