Ввыпуклом четырехугольнике abcd проведены диагонали ac и bd. при этом оказалось, чтоугол вас равен углу bdc, , а площадь круга, описанного около треугольникаbdc, равна 25*pi/4. 1 найдите радиус окружности, описанной около треугольникаabc; 2). зная что, bc=3, ac=4, угол bad=90° , найдите площадь четырехугольникаabcd.

1. δbdc, вписанный в окружность можно представить как  < bdc что опирается на хорду вс.

в δсав < сав тоже опирается на отрезок вс, причем < сав=< bdc по условию. по теореме о вписанных углах в окружность равные углы опираются на одну и ту же хорду. значит δсав вписан в туже окружность с площадью s=25π/4.

определим радиус:

s=π·r² ⇒ r=√s/π

r=√25π/4π=5/2=2.5

2. рассмотрим чет. abcd. все четыре точки лежат на одной окружности, значит четырехугольник вписан в данную окружность.

вписать можно только тот выпуклый четырехугольник у которого сумма противоположных углов равна 180°. то есть

< bad+< bcd=180° < bcd=180°-90°=90°

выпуклый четырехугольник с двумя противоположными прямыми углами являевся прямоугольником.

s=a·b=3·√16-9=3√7(кв.ед.)

пусть нам надо найти α - угол наклона бок. ребра к плоскости основания.

т.к. угол между   прямой и плоскостью основания - это угол между боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания, то нужно найти эту проекцию, поделить на боковое ребро и получить косинус угла наклона, а потом и сам угол наклона.

проекцией бок. ребра будет радиус описанной около прав. треугольника окружности, а этот радиус равен а√3/3= 3√3/3=√3

из треугольника, в котором бок. ребро - гипотенуза, а найденная проекция катет, находим cosα=√3/(2√3)=1/2

α=60°

ответ 60°

докажем, что в треугольнике авс с основанием ас биссектриса вт, проведенная из угла в, будет и медианой, и высотой. но! подчеркиваю, этим свойством обладает только биссектриса, проведенная к основанию равнобедр. треугольника. две другие биссектрисы этим свойством не .

итак, как доказать?

1. раз это биссектриса, то она делит угол авс пополам. т.е. в треугольниках авт и свт углы авт и свт равны,,

2. углы   а и с равны, как углы при основании равнобедренного треугольника.

3. ав=св, как боковые стороны равнобедр. треугольника авс

вывод треугольники авт и свт равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, т.е. по второму признаку равенства треугольников, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. значит, ат=ст. т.е. вт - медиана.

и против равных сторон (ав и св) лежат равные углы атв и ств, но они в сумме составляют 180°, т.к. смежные, получается, раз они равны, то каждый по 90°, т.е. вт - высота