Могут ли стороны треугольника относится как 2: 3: 6

Нет, так как сумма любых двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны, а в нашем случае 2+3 < 6, что является недопустимым

Тупоугольный треугольник АВС

Угол А тупой

Сторона ВС = 4

Медианы АЕ, BF, CD

Координаты вершин

A(x;y)

B(2;0)

C(-2;0)

D((2+x)/2;y/2)

E(0;0)

F((x-2)/2;y/2)

Тупоугольным треугольник будет только если вершина А лежит внутри окружности, построенной на стороне CD и диаметром 4

AE² = x² + y² < 2²

|AE| < 2

Медиана АЕ меньше 2

Медиана ВF

ВF² = (2 – (x-2)/2)² + y²/4 = 1/4*(x² – 12x + y² + 36)

Медиана СD

CD² = ((2+x)/2+2)² + y²/4 = 1/4*(x² + 12x + y² + 36)

Сумма медиан CD и BF

S(x;y) = 1/2*sqrt(x² – 12x + y² + 36) + 1/2*sqrt(x² + 12x + y² + 36)

Производная по x, ищем экстремум

dS/dx = 1/4*((2(x - 6))/sqrt(x² - 12x + y² + 36) + (2(x + 6))/sqrt(x² + 12x + y² + 36)) = 0

(x - 6)/sqrt(x² - 12x + y² + 36) + (x + 6)/sqrt(x² + 12x + y² + 36) = 0

Числитель

(x - 6)*sqrt(x² + 12x + y² + 36) + (x + 6)*sqrt(x² - 12x + y² + 36) = 0

Тривиальное решение

х = 0 для любого y

Знаменатель при этом неважен, лишь бы оставался ненулевым

Это экстремум, но минимум или максимум — пока неизвестно.

Для определения проще всего вычислить значение S(0;2) и S(1;2)

S(0;2) = 1/2*sqrt(4 + 36) + 1/2*sqrt(4 + 36) = sqrt(40) ≈ 6,325

S(1;2) = 1/2*sqrt(1 – 12 + 4 + 36) + 1/2*sqrt(1 + 12 + 4 + 36) = 1/2*sqrt(29) + 1/2*sqrt(53) ≈ 6,333

Т.е. при x = 0 имеется минимум суммы длин медиан

Минимальной суммой медиан к боковым сторонам обладает равнобедренный треугольник

Производную по y можно не брать, т. к. по y сумма длин — функция возрастающая и максимальное значение суммы длин будет при максимальном значении y

Но из условия тупоугольности треугольника у нас y не может превосходить 2

Медиана к основанию тоже не превосходит 2, поэтому значение сумм длин всех трёх медиан будет не превосходить

S(0;2) + 2 = 2 + sqrt(40) ≈ 8,325

Что меньше требуемых по условию 9

При пересечении двух параллельных прямых третьей (не под прямым углом) образуются 8 углов, четыре из которых имеют одну величину и четыре - другую:

На рисунке видны такие углы 1 и 3; 2 и 4, а так же 5 и 7; 6 и 8. Очевидно, что все эти пары представляют собой равные углы, так как являются вертикальными. Таким образом, мы имеем четыре бо'льших угла: 1, 3, 5, 7 и четыре меньших: 2, 4, 6, 8. Разность между бо'льшим и меньшим углом, по условию, равна 44°. Сумма большего и меньшего равна 180°. Тогда:

{ ∠1 - ∠2 = 44°

{ ∠1 + ∠2 = 180°    -  Складываем оба уравнения:

2 *∠1 = 224°   =>   ∠1 = 112°;    ∠2 = 180 - 112 = 68°

Таким образом: ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 112°

                            ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 68°