Острый угол параллелограмма равен 30градусов, а меньшая сторона параллелограмма, равная 8√3, равна меньшей диогонали. тогда площадь параллелограмма равна

Вам очень повезло, вопрос взят с комментариев к профилю  Zsedina
Итак, дам самое краткое решение:
1) диагональ прямоугольника делит его пополам
2) из треугольника с острым углом, и равными сторонами находим:
а) высоту параллелограмма
противолежащий катет в прямоугольном треугольнике углу 30 градусов равен половине гипотенузы, что в нашем случае 4√3
б) угол при вершине равен 180-2*30=120
по т.косинусов
основание=√(2*(8√3)²-2*(8√3)²*сos120)=8√3*√2-2*(-1/2)=8*3=24
3) площадь параллелограмма равна 
4√3*24=96√3 кв ед

Пусть АВ и СД пересекаются в точке К, а т.О - центр окружности. Треугольники ОСК и ОДК равны, т.к. ОК - общая сторона, ОС=ОД=радиус, ОКС=ОКД=90 градусов. Тогда треугольники АСК и АДК тоже равны, т.к. АК - общая сторона, углы АКС=АКД=90, КС=КД. Значит угол С = угол Д = (180-САД)/2 = (180-60)/2 = 60. Т.е. треугольник АСД - равносторонний. Значит т.О не только пересечение серединных перпендикуляров, но и пересечение медиан и биссектрис. Опустим перпендикуляр ОМ из т.О на сторону АС.  Рассмотрим треугольник АМО: АМ=АС/2, угол МАО=САД/2=30. Тогда ОМ = АО/2=2 (как катет лежащий против угла в 30 градусов). АМ^2=AO^2-OM^2=4^2-2^2=16-4=4. АМ=2. СД=АС=2АМ=2*2=4

Треугольник АСД прямоугольный , угол САД = 30 градусов , значит угол СДА= 90 - 30 = 60 градусов.

Так как трапеция равнобедренная ,то угол ВАД= 60 градусов, а сторона АВ = Сд = 12 : 2= 6 см  ( треугольник АСД прямоугольный с углом 30  градусов , катет лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы Тоесть 12 : 2 =6 см )

Треугольник АВС равнобедренный , так как  угол ВСА = углу САД  = 30 градусов накрест лежащие при параллельных ВС и АД , угол ВАС= 30 градусов.. Так как треугольник АВС равнобедренный ,то АВ=ВС= 6см. Площадь равна (6+12 ) :2 *3√3 = 27√ 3 см квадратных

высота этой трапеции  3√3 , находится из треугольника АВН по теореме Пифагора  6² -3² =27

                                                           ответ 27√ 3 см квадратных