Дан тетраэдр mkpt. точка а - середина ребра mp точка в середина ребра pt. постройте сечение тетраэдра плоскостью, содержащей точки а, в и параллельной плоскости mkt

Док-во: δabc - равносторонний ( по условию) ⇒ углы  abc, bca, cab = 60 градусов. доп. построение:   продлим прямую ac и отметим на ней т.f углы  acb и bcf - смежные. угол bcf = 180 - 60 = 120 град. ⇒ при повороте треугольника abc на 120 градусов, он займет такое же положение в пространстве, что и до этого.  δmnk подобен  δabc ( т.к. все линии δmnk соединяют середины сторон равностороннего  δabc) ⇒ средняя линия mn перейдёт в среднюю линию nk, что и требовалось доказать.

Втреугольнике авс по теореме косинусов находим углы а и с: cos a = (b²+c²-a²) / (2bc) = (15²+8²-13²) / (2*15*8) = 120 / 240 = 1  /  2. a = arc cos (1/2) = 60°. cos c = (a²+b²-c²) / (2ab) = (13²+15²-8²) / (2*13*15) = 330 / 390 = 11 / 13 c = arc cos (11/13) = 32,20423°. теперь определяем длину отрезка вд =  √(5²+8²-2*5*8*(1/2)) =  √(25+64-40) = 7. в треугольниках  abd и cbd находим радиусы вписанных окружностей по формуле: r =  √((p-a)(p-b)(p-c) / p). r₁ =  √((10-5)(10-8)(10-7) / 10) =  √3 = 1,732051, r₂ =  √((15-7)(15-10)(15-13) / 15) =  √(80/15) =  √(16/3) = 4 /  √3 = 2,309401. находим тангенс половинного углa  с через   косинус по формуле: tg  α/2 =√(1-cos  α) / (1+cos  α). tg a/2 = tg 60/2 = tg 30 = 1/√3 tg c/2 =  √((1-(11/13)) / (1+(11/ =  √(2/24) =  √(1/12) = 1 / 2√3. находим отрезки ак и сl: ak = r₁ / tg a/2 =  √3 / (1/√3) = 3. cl = r₂ / tg c/2 = 4*2√3 /  √3 = 8 отсюда искомый отрезок kl = 15-3-8 = 4. из условия вытекает только один вариант: если соотношение отрезков ad и dc считать слева направо. второй вариант может быть при расположении точки d со стороны ула с.