Сторона правильного треугольника равна 6√3 см. вычислите площадь вписанного в него круга. с подробным решением

Центр вписанного круга == точка пересечения медиан (и биссектрис и высот))) правильного (равностороннего) треугольника
h = a√3 / 2 = 6√3*√3 / 2 = 9
медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины)))
радиус вписанного круга = (1/3) медианы
r = 3
Sкруга = π*r² = 9π

Через сторону АВ основания АВС правильной треугольной пирамиды РАВС проведена плоскость, перпендикулярная ребру РС. Найдите площадь сечения, если сторона основания 8, а боковое ребро 16.

Обозначим точку пересечения плоскости сечения пирамиды с ребром РС буквой Н.
Сечение ограничено  равнобедренным треугольником АНВ
Проведем в нем высоту НМ.
S△ АНВ=АВ*НВ:2
Чтобы найти НВ, следует знать длину боковой стороны треугольника АНВ.
АН ⊥ РС.
Обозначим длину СН=х, тогда РН=16-х
Из прямоугольного треугольника АНС
АН²=АС²-х²
АН²=8²-х²
Из прямоугольного треугольника АНР
АН²=РА² -РН²
АН²=16² -(16-х)²
Приравняем выражения длины АН из этих треугольников:
8²-х²=16² -(16-х)²
64-х²=256-256+32х-х²
32х=64
х=2
АН²=64-4=60
В треугольнике АНВ найдем высоту НМ:
НМ²=АН²-АМ²
НМ²=60-16
НМ=√44=2√11
S△ АНВ=(8*2√11):2=8√11

1) Так как плоскость параллельна стороне СВ, следовательно она пересевает стороны АС и АВ по С1В1, который будет параллелен СВ.
ΔС1АВ1 ~ Δ CAB по 3му признаку (по трем углам). Тогда выполняется следующее соотношение:
.
2) Так как α||β, то отрезки, А1В1||А2В2 (так как l и m прямые пересекаются, то по теореме через них можно провести плоскость, и при том только одну. Эта плоскость будет пересекать и α, и β по параллельным прямым).
Пусть ОВ1 = х, тогда ОВ2 = 8 - х.
ΔА1В1О ~ ΔA2B2O по 3му признаку (по трем углам). Тогда выполняется следующее соотношение: