Вравнобедренном треугольникемнк, мн=nk=5см, мк=6см. точка d находится на расстоянии √10см от плоскости треугольника mnk и на одинаковом расстоянии от его сторон. найти это расстояние

Если D равноудалена от сторон, то ее проекция на MHK будет центром вписанной окружности, лежащей на пересечении биссектрис, обозначаем О. Но биссектриса из N L является высотой и медианой. Чтобы найти OL, надо знать tgOML, но угол OML=1/2NML=1/2a, следовательно tg OML=sina/(1+cosa) NL=4 по теореме Пифагора, тогда sina=4/5, cosa=3/5, a tgOML=1/2, тогда OL=3*1/2=1,5. По теореме Пифагора DL ( искомое расстояние ) = 3,5 см.

Рассмотрим один из треугоьников, полученных после проведения диагонали. он прямоугольный. синус меньшего угла равен отношению противолежащего катета г гипотенузе = корень из 3/2 . значит этот угол равен 60 гадусов, а значит другой равен 180-90-60=30 градусов. проведя вторую диагональ, мы получим два треугольника внутри него. Один из этих треугольников содержит меньший угол, образованный при пересечении двух диагоналей прямоугольника. Он будет равнобедренным (надеюсь, додумаешься почему), а значит его углы при основании равны. Основание этого треугольника содержит одну из сторон прямоугольника. меньший угол, образованный при пересечении диагоналей прямоугольника будет равен 180-30-30=60 градусов. 

 

P = 2*(a+b) = 30
a+b = 15
---
d = √(a²+b²) = 14
√(a²+b²) = 14
a²+b² = 14²
a = 15-b
(15-b)² + b² = 14²
225 - 30b + b² + b² = 196
2b² - 30² + 29 = 0
b₁ = (30 - √(30² - 4*2*29))/4 = 15/2 - √668/4 = 15/2 - √167/2
b₂ = (30 + √(30² - 4*2*29))/4 = 15/2 + √668/4 = 15/2 + √167/2
a₁ = 15 - b₁ = 15 - 15/2 + √167/2 = 15/2 + √167/2
a₂ = 15 - b₂ = 15 - 15/2 - √167/2 = 15/2 - √167/2
Решение одно, просто а и в переставлены местами
S = a*b = (15/2 + √167/2)*(15/2 - √167/2) = 1/4*(15 + √167)*(15 - √167) = 1/4*(15² - 167) = 1/4*(225 - 167) = 1/4*58 = 29/2