10 прямой треугольной призме abca1b1c1, угол acb=90 градусов, угол bac=60 градусов, ас=а. прямая b1c составляет с плоскостью грани аа1с1с угол 45 градусов. найдите площадь боковой поверхности призмы."

Угол АСВ=90° (дано). Призма прямая ⇒ все ее  боковые грани  - прямоугольники. Катет АС  треугольника АВС прилежит углу 60°, ⇒ гипотенуза АВ=АС:cos60°=a:0,5=2a. Катет ВС=АВ•sin60°=2a•√3/2=a√3. В1С1 перпендикулярен  плоскости АА1С1С, следовательно, перпендикулярен А1С1, а СС1 – проекция наклонной В1С. По условию ∠В1СС1=45°. Значит, В1С – биссектриса прямого угла, угол С1В1С=45°, и ∆ В1С1С - равнобедренный, поэтому высота призмы СС1=В1С1=ВС=а√3 Формула площади боковой поверхности призмы Ѕ=Р•Н (произведение периметра основания и высоты призмы). S=(а+2а+а√3)•a√3=a²•(3+√3)

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
а) если  равнобедренные треугольники имеют по  равному острому углу при основании, то значит равны и вторые углы при основании и треугольники подобны. Если равны углы при вершине, то следовательно равны и углы при основании. Треугольники подобны. 
б) Тупым может быть только угол при вершине. Тогда равны и углы при основании. Треугольники подобны.
в) В равнобедренных прямоугольных треугольников острые углы равны по 45 градусов. Треугольники подобны.

а)Сумма углов четырехугольника АВДС равна 360 градусов. Поэтому, чтобы найти угол АСД надо из 360 отнять сумму заданных углов. Т.е. угол ACD= 360-(43+45+ 137)=360-225=135 градусов. б)Угол BDC =45 градусам, ABD=137 градусам, это внутренние односторонние углы при прямых АВ и  DC и секущей BD. Для того, чтобы прямые АВ и  DC  были параллельны, надо чтобы сумма указанных углов была 180 градусов, а у нас 45+ 137= 182, т.е. эти прямые не параллельны, значит, они имеют общую точку и, если АВ и  DC  продолжить, то они пересекутся.