1. градусные меры двух внешних углов треугольника равны 152° и 141°. найдите третий внешний угол этого треугольника. 2. один из внешних углов треугольника равен 128°. найдите внутренние углы, не смежные с ним, если один из них: а) равен 40°; б) на 36° меньше другого; в) в 7 раз больше другого; г) они относятся как 3: 7. 3. может ли внешний угол при основании равнобедренного треугольника быть: а) прямым; б) острым; в) тупым? ответ обоснуйте. 4. один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 80°. чему равны внутренние углы этого треугольника.

На основании выше сказанного можно утверждать, что внешний угол при основании равнобедренного треугольника может быть ТОЛЬКО тупым!

4 задача
Внутренний угол треугольника, смежный со внешним углом 80°, равен 180° - 80° = 100°. Это может быть только угол между боковыми сторонами, т.к. иначе сумма углов треугольника была бы больше 180°. Таким образом, углы при основании: ½ (180° -100°) = 40°.
ответ: 40°, 40°, 100°.

сделаем построение по условию

соединим точки А и В 

найдем углы треугольника АЕВ

<ABD -вписаный - опирается на дугу (AD) 

его величина РАВНА половине размера дуги  

<ABD=<ABE=92/2=46

<ВАС -вписаный - опирается на дугу (ВС) 

его величина РАВНА половине размера дуги  

<ВАС=<BAE=48/2=24

два  угла нашли

сумма углов в треугольнике  180 град

<AEB =180 -<ABE -<BAE =180-46-24=110 град

угол <AEC =180   - развернутый

<BEC и <AEB  -смежные

<BEC =180-<AEB =180-110=70 град

ОТВЕТ  <АЕВ=110 ; <ВЕС=70

В треугольнике АВС (АВ=ВС) проведем высоту АН к стороне ВС. Высота тупоугольного треугольника, проведенная из вершины острого угла,  лежит вне треугольника.

    В равнобедренном ∆ АВС   ∠ВСА=∠САВ= 30°,⇒ ∠В=180°-2•30°=120° В Δ АВН  угол АВН смежный углу АВС равен 180°-120°=60°. Угол ВАН=180°- 90°-60°=30°.

 Примем  АВ=ВС равными а. Тогда ВН=а•sin30°=a/2, AH=a•sin60°=a√3/2.

Биссектриса АЕ делит угол ВАС на два по 30°:2=15°. Тогда в прямоугольном треугольнике НАЕ ∠НАЕ=<НАВ+ <ВАЕ=30°+15°=45°.  Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, поэтому ∠НЕА=45°⇒ ∆ АНЕ - прямоугольный равнобедренный (по свойству), и ЕН=АН=a√3/2

НЕ=ВЕ+ВН=(8+а/2 )

Из равенства АН=ЕН следует  a√3/2=8+а/2, откуда получим а-8=8√3, ⇒  а=8(√3+1) см

Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения равных сторон на синус угла между ними.

S(ABC)=0,5•a²•sin120°.  S(ABC)=0,5•[8(√3+1)]²•√3/2=32√3( 2+√3) см²