Правильный треугольник abc проектируется в прямоугольный треугольник abc1. найдите угол между плоскостями этих треугольников.

сторона   правильного треугольника   b

высота в правильном треугольнике h1=b√3 /2

гипотенуза прямоугольного   треугольника   b

высота в прямоугольном   треугольнике  h2=b/2

угол между плоскостями этих треугольников - обозначим < h

это   линейный угол между высотами   h1, h2

cos< h=h2/h1=b/2 /  b√3 /2 = 1/√3

< h = arccos  1/√3   =54.74 = 55 град

пусть дана трапеция abcd с равными боковыми сторонами ad = bc. сумма ее оснований ab + dc = 17 см, высота ah = 3,5 см

угол adh = 45 градусам по условию, угол ahd = 90 градусов, так как ah - высота = >

угол dah = 180 - 90 - 45 = 45 градусов => треугольник ahd - равнобедренный, dh = ah = 3,5 см. 

проведем еще одну высоту bl. 

угол bcl = 45 градусам по условию, угол blc = 90 градусов, так как bl - высота =>

угол lbc = 180 - 90 - 45 = 45 градусов => треугольник bcl - равнобедренный, lc = bl = 3,5 см

ab || dc, ah || bl = > ablh - паралеллограмм => ab = hl

пусть ab = hl = x. тогда:

ab + dc = ab + dh + hl + lc = 2x + 7 = 17 

2x = 10

x = 5

ab = 5 см.

dc = dh + hl + lc = 3,5 + 5 + 3,5 = 12 см.

ответ: ab = 5 см; dc = 12 см 

рассмотрим треугольник авс . угол с=90 градусов.проводим биссектрисы острых углов ам и вк . о точка пересечения биссектрис. рассмотрим треугольник аов. угол оав=половине угла сав.угол ова= половине угласва.(биссектриса делит угол пополам)сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.а сумма половин будет равна 45 градусов,т.е.угол оав+угол ова =45 градусов.отсюда следует,что угол аов=135 градусов(сумма углов треугольника равна 180 градусов) .углы воа и аок смежные(их сумма 180 градусов). значит угол аок=180 - 135=45 градусов.