Прямая а проходит через середину отрезка мn-точку к. через точки м и n проведены параллельные прямые пересекающие прямую а в точках d и e соответственно. доказть, что od=oe

Смотри доказательство во вложении,точки не путай

OB =OA+AB =OC+CD =OD

△BOC=△DOA (по двум сторонам и углу между ними), ∠B=∠D

∠AMB=∠CMD (вертикальные)

В треугольниках BAM и DCM два угла равны, следовательно все углы равны, ∠BAM=∠DCM

△BAM=△DCM (по стороне и прилежащим к ней углам), AM=CM

△AOM=△COM (по трем сторонам), ∠AOM=∠COM, OM - биссектриса ∠AOC.

Или  

Прямые AC и BD отсекают на сторонах угла равные отрезки, следовательно прямые параллельны (теорема Фалеса), ACDB - трапеция. По теореме о четырех точках трапеции OM проходит через середину AC и является в равнобедренном треугольнике AOC медианой и биссектрисой.

Предположим, что существует точка, расстояние от которой до любой вершины четырехугольника меньше 0.5. Тогда четырехугольник целиком лежит внутри окружности с центром в этой точке и радиусом 0.5. Диагональ четырехугольника - это отрезок, лежащий внутри окружности, так как его концы лежат внутри окружности. Значит, диагональ строго меньше диаметра окружности, то есть, меньше 1. Но если сумма диагоналей равна 2, значит, по меньшей мере одна диагональ не меньше 1. Получили противоречие. Значит, такой точки не существует и расстояние от любой точки плоскости до какой-то из вершин четырехугольника не меньше 0.5, что и требовалось.