Втреугольнике авс стороны равны 3, 7 и 8. найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Радиус окружности вписанной в треугольник вычисляется по формуле :
r=√((p-a)(p-b)(p-c))\p                p=1\2(a+b+c)
p=1\2(3+7+8)=9
r=√((9-3)(9-7)(9-8))\9=√(6·2·1)\9=√12\9=2√3\3
ответ:2√3\3

Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Точки E, F, M и K - середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. 

а) докажите, что EFMK - параллелограмм. 

А к с и о м а 1.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

С л е д с т в и е 1.

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Соединив отрезками данные точки по три: 

А, В и С – получим ∆ АВС. 

А, D и C – получим ∆ ADC

B, D и С  – получим ∆ BDС

B, D и A – получим ∆  BDA.

Отрезок, соединяющий середины двух его сторон называется средней линией треугольника. 

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

EF – средняя линия треугольника АВС и параллельна основанию АС по определению.

КМ – средняя линия треугольника АDC и параллельна основанию АС по определению.  

EF=AC:2, KM=AC:2 ⇒ EF||KM и EF=KM

То же самое верно для КЕ и МF.

Если противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 

------------------------------

б) найдите периметр EFMK, если AC = 6 см, BD = 8 см

КЕ=MF=BD:2=8:2=4

KM=EF=AC:2=6:2=3

P (KMFE)=2•(3+4)=14 см

Высота к стороне АС это перпендикуляр из точки В к АС.

Пусть это будет отрезок ВН.

Запишем уравнение АС относительно у:

АС: у = -2х - 2.

Угловой коэффициент к(ВН) = -1/к(АС) = -1/(-2) = 1/2.

Уравнение ВН: у = (1/2)х + в.

Для определения параметра в подставим в уравнение координаты точки В, которые определим как  точку пересечения прямых АВ и ВС.

(AB): x + 2y + 1 = 0, (BC): 2x-y-2 = 0.    

      А В С

АВ = 1 2 1

ВС=         2 -1 -2

АВ_ВС  х  у

Точка В 0,6 -0,8

-0,8 = (1/2)*0,6 + в,   отсюда в= -0,8 - 0,3 = -1,1.

Уравнение ВН: у = (1/2)х - 1,1.