Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 8. 1 найдите длину медианы, проведенной к гипотенузе. 2 найдите площади треугольников, на которые эта медиана разбивает данный треугольник. 3 найдите длину высоты, опущенной на гипотенузу. 4 найдите площади треугольников, на которые эта высота разбивает данный треугольник

1). Медиана в прямоугольном треугольнике проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы. Т.е АН=10/2=5.

p-полупериметр треугольника.
2).
p(ABH)=1/2*(5+5+6)=8
S(ABH)=√p*(p-AB)*(p-BH)*(p-AH)=√8*(8-6)*(8-5)*(8-5)=√144=12
     S(AHC)=S(ABC)-S(ABH)
S(ABC)=1/2*AC*AB=24
S(AHC)=24-12=12

3).AM=(АВ*АС)/ВС=(6*8)/10=4,8   высота.
4). Рассмотрим треугольник АМС. По теореме пифагора:
МС=√(AC^2-AM^2)=64-23,04=6,4
S(AMC)=1/2*(AM*MC)=1/2*(4,8*6,4)=15,36
S(ABM)=S(ABC)-S(AMC)=24-15,36=8,64
4).

Найдем координату точки F.  F- точка , которая делит пополам сторону АВ ( так как CF - медиана).

F = ( (Xa+Xb)/2 ;  (Ya+Yb)/2) = ((-1+3)/2 ; (4+2)/2)= (1;3).

Вектор CF = (1-1; 3-(-3)) = (0; 6).

Уравнение медианы CF: (x - 1)/0 = (y - 4)/6.

Получаем общее уравнение CF: 6x - 6 = 0 или х - 1 = 0.

Находим уравнение стороны АС.

Вектор АС = (1-(-1); -3-4) = (2; -7).

Уравнение АС: (x + 1)/2 = (y - 4)/(-7) или в общем виде 7x + 2y - 1 = 0.

Находим угол α между прямыми АС и CF.

cos α = (1*7 + 0*2)/(1*√53) = 7√53/53.

Угол α = 15,9454°.

ответ:    ∡ACF=arccos(3*√5/10)

Объяснение:

1. Найдем координату точки F.  F- точка , которая делит пополам сторону АВ ( так как CF - медиана)

F = ( (Xa+Xb)/2 ;  (Ya+Yb)/2) = ((-1+3)/2 ; (4+2)/2)= (1;3)

2. Найдем длину медианы CF:

CF=sqrt( (Xf-Xc)²+(Yf-Yc)²)= sqrt((1-1)²+ (3-(-3))²)=sqrt(0+9)=3

3. Найдем AF =sqrt ((Xf-Xa)² +(Yf-Ya)²)= sqrt ((1-(-1))²+(3-4)²)= sqrt(2²+1²)=√5

4. Найдем АС=sqrt((Xc-Xa)²+(Yc-Ya)²)=sqrt((1-(-1))²+(-3-(-4))²)=sqrt(2²+1²)=√5

=> ΔACF- равнобедренный (AС=AF).

=>cos ∡ACF= 3/√5/2=3*√5/10

∡ACF=arccos(3*√5/10)