Вопрос: конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду.их общая высота равна 9/4, а радиус вписанной в конус сферы равен 1.найти разность объемов пирамиды и конуса

Объем пирамиды, как и объем конуса, равен 1/3 произведения площади основания на высоту фигуры. Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат.
Основание конуса - вписанный в основание пирамиды круг.
Высота дана в условии.
Сторона  АД основания пирамиды равна диаметру КН основания конуса. Её нужно найти.
Построим осевое сечения конуса МКЕ. Оно идентично осевому сечению пирамиды. проведенному через ее апофемы, т.к. образующие конуса совпадают с ними. Это сечение является равнобедренным треугольником, основание КЕ которого равно диаметру конуса и стороне основания пирамиды.
Рассмотрим рисунок.
Т - точка касания вписанной в конус сферы и образующей конуса ( грани пирамиды).
Радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания, перпедникулярен касательной.
Прямоугольные треугольники МТО и МНА - подобны, у них общий острый угол при М.
МН=9/4=2,25
МО=МН-r= 1,25
По т. Пифагора
МТ²=МО²-ТО²
МТ²= (2,25)²-1
МТ=0,75
Из подобия треугольников
МТ:МН=ТО:КН
0,75:2,25=1:КН
0,75 КН=2,25
КН=3 - это радиус основания конуса и равен половине длины стороны квадрата в основании пирамиды.
Площадь АВСД=(2*3²=)36
Объем пирамиды 
V п=36*2,25:3=27
Площадь основания конуса 
S=πr²=π*9
Объем конуса
V к=π*9*Н:3=π*3²*2,25:3=π*9*0,75=π*6,75
Vп=27=4*6,75
Разность объемов пирамиды и конуса
V п- V к=4*6,75-π*6,75=6,75*(4-π) или ≈ 5,8 единиц объема

Геометрический
S(AMB)=1/2MA·MB·sin(AMB)=(√3/4)MA·MB, т.к. ∠AMB=∠ACB=60°.
Отсюда  MA·MB=4S(AMB)/√3 и аналогично из площадей треугольников AMC и СМВ получим MA·MC=4S(AMC)/√3, MC·MB=4S(СMВ)/√3.
По теореме косинусов для тех же треугольников:
AB²=MA²+MB²-MA·MB=MA²+MB²-(4/√3)·S(AMB);
AС²=MA²+MС²+MA·MС=MA²+MС²-(4/√3)·S(AMС);
СB²=MС²+MB²-MС·MB=MС²+MB²-(4/√3)·S(СMB).
Сложим эти равенства:
AB²+AС²+СB²=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(S(AMB)-S(AMС)+S(СMB)).
Но AB=AС=СB=√3, и значит AB²+AС²+СB²=3+3+3=9,
S(AMB)+S(СMB)-S(AMС)=S(ABC)=(3√3)/4.
Поэтому 9=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(3√3)/4, т.е. 
MA²+MB²+MС²=(9+3)/2=6.

Тригонометрический
Если R - радиус, О - центр окружности и ∠AOM=2x, то  MА=2Rsin(x), MB=2Rsin(60°+x), MC=2Rsin(60°-x). Значит 
MA²+MB²+MС²=4R²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°-x)).
После раскрытия синусов суммы и упрощения получим 6R², что и требовалось.

АВС - прямоугольный тр-ник, угол В прямой, АС - гипотенуза. ВМ - медиана.

Медиана делит сторону, к которой она проведена, пополам. Значит АМ = МС.

В прямоугольном тр-нике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, т.е.

ВМ = ВМ = СМ = 10 см, тогда гипотенуза АС = 20 см.

Медиана ВМ делит прямой угол в отношении 1 : 2, значит

угол АВМ = 90 : 3 * 2 = 60 градусов

угол СВМ = 90 - 60 = 30 градусов.

Тр-ник АМВ - равнобедренный, поскольку АМ = ВМ, АВ - основание.

Углы при основании равны, т.е. угол МАВ = МВА = 60, тогда угол АМВ = 180 - 60 * 2 = 60.

Значит тр-ник АМВ равносторонний, АВ = 16 см.

Меньшая средняя линия параллельна меньшей стороне (АВ) и равна ее половине, т.е. 8 см.