Втреугольнике авс, угол с=60 градусов. внешний угол при вершине в=120 градусов. ам - высота к стороне вс. найти угол а, сторону ав, если отрезок мс=6см.

Угол внешний с вершиной В- смежный , он равен 120гр, значит угол В=180-120=60. Сумма углов в треугольнике 180гр. Значит угол А=180-60-60=60. Таким образом , Треугольник АВС-равносторонний все углы 60гр.
Высота равностороннего треугольника также является медианой и биссектрисой, значит сторона АВ=МС+МВ=12, АВ=ВС=АС

Номер 1

Треугольники АВD и DBC равны между собой по второму признаку равенства прямоугольных треугольников-по катету и прилежащему к нему острому углу

DB-общая сторона

<АDB=<BDC

Исходя из этого

AD=AC

Номер 2

Треугольники АВС и АСD равны между собой по третьему признаку равенства треугольников-по трём сторонам

ВС=AD;BA=CD;по условию задачи

АС-общая

Номер 4

Треугольники АВD иСВD равны между собой по второму признаку равенства треугольника-по стороне и двум прилегающим к ней углам

<АВD=<DBC;<ADB=<BDC

DB-общая сторона

В равных треугольниках соответствующие стороны и углы равны между собой,поэтому

<А=<С

Номер 3

Треугольники равны по второму признаку равенства треугольников-по стороне и двум прилежащим к ней углам

<А=<D;AO=OD;

<АОС=<АОВ,как вертикальные

Из равенства треугольников вытекает,что АС=DB

Номер 1

Треугольники АDB и ВDC прямоугольные и равны между собой по 5 признаку равенства прямоугольных треугольников-по катету и гипотенузе

AD=CD;AB=BC по условию задачи

Треугольник АDC-равнобедренный,т к по условию АD=DC,cледовательно-углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой

<А=<С

Номер 2

Треугольники равны между собой по второму признаку равенства треугольников-по стороне и двум прилегающим к ней углам

ВО=ОD;<B=<D; <AOB=<COD,как вертикальные

Исходя из равенства треугольников,

АО=ОС

Номер 4

Треугольники равны по первому признаку равенства треугольников

<СВD=<ADB;<ABD=<BDC;

BD-общая сторона

Треугольники равны,а значит равны АС=АD

Номер 3

Треугольники равны по первому признаку равенства треугольников-по двум сторонам и углу между ними

АВ=АD;<BAC=<DAC;по условию задачи

АС-общая сторона

Т к доказано равенства треугольников,то и

<АСD=<ACB

Объяснение:

Как ни странно, для решения таких задач важно максимально упростить форму записи соотношений, которые получаются из условия.
Треугольник ABC, высоты AA1; BB1; CC1; точка пересечения H;
Задано AH/HA1 = 1; BH/HB1 = 2; надо найти CH/HC1;
Теорема Ван-Обеля дает
AC1/C1B + AB1/B1C = AH/HA1 = 1;
BC1/C1A + BA1/A1C = BH/HB1 = 2;
Теорема Чевы (без учета ориентированности, что тут не важно) дает
(AC1/C1B)*(BA1/A1C)*(CB1/B1A) = 1;
А найти надо CH/HC1 = CB1/B1A + CA1/A1B;
Вот теперь надо что-то делать, чтобы можно было с этим работать.
Пусть AC1/C1B = a; BA1/A1C = b; CB1/B1A = c;
тогда вся эта абракадабра переписывается так
a + 1/c = 1;
1/a + b = 2;
abc = 1;
и надо найти c + 1/b;
теперь видно, что эту систему очень легко решить.
из второго уравнения 1 + ab = 2a; => 1/c = 2a - 1; тогда из  первого получается 3a - 1 = 1; a =2/3; далее b = 1/2; c = 3;
c + 1/b = 5 = CH/HC1;

Вы проверьте, мало ли, я тут "в пол глаза" решаю, мог и что-то не так сделать.