Дан выпуклый четырехугольник abcd со сторонами ав = 9, bc = cd = 11, ad = 15 и диагональю ас =16. а) докажите, что около него можно описать окружность. б) найдите диагональ bd.

Четырехугольник можно вписать в окружность только тогда, когда сумма его  противолежащих углов равна 180 градусам. Если одна пара углов будет 180 градусов, то вторая 360 - 180 = 180

Обозначим угол ADC за α, а угол ABC за β







α, β < 180

α+β=180
Следовательно, четырехугольник может быть вписан в окружность.

Обозначим угол BAD за γ

225+81-270cosγ=121+121+242cosγ
cosγ=0.125
BD^2=225+81-270cosγ=306-270*0.125=272.25
BD=16.5

ответ: 16.5

Пусть d, e и f - точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника авс: ас, ав и вс соответственно.нам дано: ав=30см, вf=14см, fc=12см.заметим, что ве=вf=14см, dc=fc=12см, а ае=аd как касательные, проведенные из одной точки к окружности.тогда ае=ав-ве=30-14=16см, значит аd=16см. dc=fc=12см.  значит ас=ad+dc=16+12=28см.  полупериметр треугольника равен: р=(30+26+28): 2=42см.есть формула для вписанной в треугольник окружности: r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/р], где р - полупериметр, а, b, c - стороны треугольника.  в нашем случае: r=√(12*16*14/42)=√64=8см.ответ: r=8см.

Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.