Найдите площадь круга вписанного в правильный треугольник со стороной 6 см

R= 2Sтр / 3a
Sтр = a^2 * корень (3) / 4 = 9 корень (3)
r = 18корень (3)/ 18 = корень (3)
Sкр = pi * r^2 = 3pi ≈ 9,42
ответ: 3pi.

1. AN = AB^2/AM = 3; MN = 2; => OB = 1;

=> угол BAO = 30 градусов; BH = AB*sin(30) = корень(3)/2;

2. О - центр правильного шестиугольника.

ОС = ОD = CD = OA; => OK = KD; => AK/KD = 3;

3. вот тут есть кое-что интересное. Построение такое - проводим ВР II CD, Р лежит на MN. Проводим PK II BA, K лежит на AD. Ясно, что PN = BC; => MP = (AD - BC)/2 = AK; 

Трапеция KPND равна трапеции MBCN, то есть её площадь составляет 3/5 площади AMNP. Площадь параллелограмма AMPK, соответственно, составляет 2/5 от площади AMNP. Поскольку у этих фигур общая высота, отношение их площадей равно отношению средних линий.

Обдумайте это внимательно - речь идет о средних линиях параллелограмма (а параллелограмм - частный случай трапеции :)) AMPK, равной АК = МР = (AD - BC)/2; и средней линии трапеции KPND, то есть - трапеции MBCN, равной ((AD + BC)/2 + BC)/2 = (AD/4 + 3*BC/4); 

(Я вынужден сделать замечание. Условие MN = 10 я намеренно не использую, хотя отлично вижу, что тут можно было бы подставить это значение.)

Итак, получилось (AD/2 + 3*BC/2)/(AD - BC) = 3/2; обозначим AD/BC = x;

(x/2 + 3/2)/(x - 1) = 3/2; x = 3;

Условие MN = 10 позволяет найти основания, равные 5 и 15.

Так как ΔАВС равнобедренный, то
АВ₁ = В₁С = ВА₁ = А₁С
∠САВ = ∠СВА как углы при основании равнобедренного треугольника,
АВ - общая сторона для ΔАВ₁В и ΔВА₁А, значит
ΔАВ₁В = ΔВА₁А по двум сторонам и углу между ними, ⇒
АА₁ = ВВ₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, значит АО = ОВ.
Обозначим АО = ОВ = х.
∠АОВ = 180° - 60° = 120° (смежные)
Из ΔАОВ по теореме косинусов:
АВ² = AO² + BO² - 2·AO·BO·cos120°
36 = x² + x² - 2 · x · x · (- 1/2)
2x² + x² = 36
3x² = 36
x² = 12
x = √12 = 2√3
АО = 2√3 см - это 2/3 от длины АА₁. Значит
АА₁ = 3/2 · АО = 3/2 · 2√3 = 3√3 см