Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 14 і 50 см, бічна сторона - 30 см. обчислити відстань від площини трапеції до точки, віддаленої від кожної з її вершин на 65 см.

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 50 см, боковая сторона - 30 см. Вычислите расстояние от площади трапеции до точки, равноудаленной от каждой из вершин на 65 см.

Обозначим равноудаленную от каждой из вершин точку буквой М. 
Отрезки, соединяющие точку М с вершинами  трапеции - равные наклонные, следовательно, их проекции тоже равны и совпадут с центром описанной вокруг данной трапеции окружности с радиусом, равным проекциям этих наклонных.
Сделав рисунок и соединив точку М с вершинами трапеции, получим пирамиду с высотой МО, длина которой и есть искомое расстояние   ( расстояние от точки до плоскости - перпендикуляр), и основанием пирамиды - данной трапецией.
Нарисуем основание с трапецией отдельно и соединим центр окружности О с вершинами трапеции.
Получим равнобедренные треугольники АОД и ВОС.
Расстояние между основаниями трапеции АД и ВС равно высоте НС трапеции. Найдем длину НС из прямоугольного треугольника СНД. 
СН=√(CД²-НД²)
(ДН=АД-ВС):2=18 см
СН=√(900-324)=24 см
Проведем еще одну высоту ЕК через центр окружности.
ЕК=НС=24 см
Пусть расстояние ЕО от центра АД до центра окружности будет х.
Тогда ОК=24-х
Выразим квадрат радиуса описанной окружности из треугольника АОЕ:
R²=25²+х²
Выразим квадрат радиуса описанной окружности из треугольника ВОК:
R²=(24-х)+7² и приравняем эти выражения:
25²+х²=(24-х)+7²
625+х²=576-48х+х²+49
получим 
48х=0,  ⇒ х=0, из чего следует, что центр описанной окружности лежит на основании трапеции АД.
Тогда R=АД:2=25 см
Вернёмся к  первому рисунку.
Треугольник АОМ - прямоугольный с катетами, равными  АО и  МО.
АМ²=МО²+АО²
4225=МО²+625
МО=√3600=60 cм

--------
[email protected]

∠ВАС = ∠ВСА = 30 ° ;  ∠АВС = 120° .

Объяснение:

По условию :

Δ АВС - равнобедренный , следовательно:

Боковые стороны равны ⇒  АВ=ВС = 29,4 см  

Углы при основании равны :

АС  - основание  ⇒ ∠BAC (∠BAD) = ∠BCA (∠BCD) 

BD =14,7см   - высота к основанию АС ⇒  является медианой и биссектрисой : 

∠BDA = ∠BDC = 90° ( т.к. BD - высота)

AD = DC = АС/2   (т. к. BD - медиана)

∠ABD = ∠CBD  (т. к. BD - биссектриса)

ΔBDA  =  ΔBDC   - прямоугольные треугольники 

Решение.

1) ΔBAD  

По условию катет BD = 14,7 см ,  гипотенуза АВ = 29,4 см , следовательно :

BD = 1/2  * AB  =  1/2  * 29,4 = 14,7 см 

Если катет равен  половине гипотенузы, то угол лежащий против  этого катета равен 30°  ⇒∠DAB (∠ BAC) = 30°

Проверим по определению синуса:

sin A  = 14,7/29,4 = 1/2     ⇒ ∠BAC (∠BAD ) = ∠BCA (∠BCD) = 30°

2) ΔАВС :

Сумма  углов  любого треугольника  = 180°

∠АВС = 180°  - (∠ВАС + ∠ВСА)

∠АВС  =  180  -  2*30  = 120 °

ответ: ∠ВАС = ∠ВСА = 30 ° ;  ∠АВС = 120° .

Условия задачи:

Δ АВС - равнобедренный , следовательно:

Боковые стороны равны ⇒  АВ=ВС = 14,2 см  

Углы при основании равны :

АС  - основание  ⇒ ∠BAC (∠BAD) = ∠BCA (∠BCD) 

BD =7,1 см   - высота к основанию АС ⇒  является медианой и биссектрисой : 

∠BDA = ∠BDC = 90° ( т.к. BD - высота)

AD = DC = АС/2   (т. к. BD - медиана)

∠ABD = ∠CBD  (т. к. BD - биссектриса)

ΔBDA  =  ΔBDC   - прямоугольные треугольники 

Решение.

1) ΔBAD  

По условию катет BD = 7,1 см ,  гипотенуза АВ = 14,2 см , следовательно :

BD = 1/2  * AB  =  1/2  * 14,2 = 7,1 см 

Если катет равен  половине гипотенузы, то угол лежащий против  этого катета равен 30°  ⇒∠DAB (∠ BAC) = 30°

Проверим по определению синуса:

sin A  = 7/14 = 1/2     ⇒ ∠BAC (∠BAD ) = ∠BCA (∠BCD) = 30°

2) ΔАВС :

Сумма  углов  любого треугольника  = 180°

∠АВС = 180°  - (∠ВАС + ∠ВСА)

∠АВС  =  180  -  2*30  = 120 °