Прямоугольник со сторонами m и n вращается сначала вокруг стороны m, а затем вокруг стороны n. вычислите отношение площадей полных поверхностей тел вращения.

Получается два цилиндра
первый с высотой m и радиусом n
второй с высотой n и радиусом m
S(полной поверхности)=2πRH+2πR²
S1=2π·n·m+2π·n²=2π·n·(m+n)
S2=2π·m·n+2π·m²=2π·m·(m+n)
S1/S2=n/m

Если вращается вокруг м, то имеем цилиндр с радиусом основания н и высотой м. находим площадь полной поверхности:
S=2*pi*n^2+2*pi*n*m=2*pi*n*(n+m).
Если вращается вокруг н, то S=2*pi*m*(n+m).
Тогда отношение площадей полных поверхностей n/m.

Две пары пересекающихся параллельных прямых отсекают четырехугольник ABCD, противоположные стороны которого попарно параллельны. т.к. принадлежат параллельным прямым. 
⇒ АВСD- параллелограмм.
В параллелограмме противоположные стороны равны.
АВ и СD -  противоположные стороны параллелограмма. ⇒ они равны. 
--------
2.
В получившемся четырехугольнике соединим А и D. Треугольники АСD и   имеют равные накрестлежащие углы при пересечении параллельных прямых а и b секущей AD, и той же секущей при пересечении параллельных прямых AB и  CD, а сторона AD- общая.
Второй признак равенства треугольников. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
⇒АВ=CD

Вертикальные углы образуются, если стороны одного угла продлить за его вершину. В этом случае получаются две пересекающиеся прямые, образующие четыре угла. Эти четыре угла попарно вертикальные. Вертикальные углы находятся друг напротив друга, а рядом лежащие углы являются смежными, так как у них одна сторона общая, а не общие стороны лежат на одной прямой. Равенство вертикальных углов является следствием определения смежных углов. Смежные углы по определению в сумме составляют 180°. Возьмем любой угол, образованный двумя пересекающимися прямыми, обозначим его как ∠1 и примем его величину как a. Тогда смежный ∠2 с ним будет равен 180° – a. Но у этого ∠2 с другой стороны есть другой смежный угол – ∠3. Его величина будет равна 180° минус величина ∠2. Но ∠2 у нас равен 180° – a, поэтому: ∠3 = 180° – ∠2 = 180° – (180° – a) = 180° – 180° + a = a То есть ∠1 и ∠3 равны. Можно продолжить и доказать, что ∠4 равен ∠2. Если ∠3 равен a, то ∠4, как смежный с ним, равен 180° – a. На рисунке ниже доказательство выглядит несколько по-другому. ∠2 смежный и с ∠1, и с ∠3. Поскольку его величина постоянна, а сумма смежных углов равна 180°, то чтобы получить величину ∠2, надо из 180 вычитать одно и то же число, значит угол 1 равен углу 3