С4 в окружность вписан четырехугольник abcd, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке е. прямая, проходящая через точку е и перпендикулярная к ав, пересекает сторону cd в точке м. а) докажите, что ем – медиана треугольника ced. б) найдите ем, если ad = 8 , ab = 4 и угол cdb равен 60

Очень простая задача.
Пусть  EM пересекает AB в точке K.
Тогда
∠MED = ∠BEK;
∠BEK = ∠BAE; (стороны углов перпендикулярны)
∠BAE = ∠EDC; (вписанные углы, оба опираются на дугу CB)
=> ΔEMD - равнобедренный; EM = MD;
На гипотенузе прямоугольного ΔCED есть только одна точка, равноудаленная от вершины прямого угла и вершины острого - её середина.
а) доказано.
б) Если ∠CDB = 60°; то ∠EAB = 60°;
AE = AB*cos(60°) = 2;
ED^2 = AD^2 - AE^2 = 60; ED = √60;
Само собой, ED = EM, так как ΔEMD в данном случае равносторонний (все углы 60°);

Длины всех ребер правильной шестиугольной призмы равны. Вычислителе длину большей диагонали призмы, если известно, что площадь боковой поверхности призмы  равна 96 см².

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы находится по формуле:

а - ребро нашей призмы.

Обратим внимание на чертеж. Искомая длина большей диагонали есть длина гипотенузы прямоугольного треугольника АА₁D.

AD = 2 * 4 = 8 (см)

По теореме Пифагора:

с² = a² + b²

AD₁² = AD² + DD₁²

AD₁² = 8² + 4²

AD₁² = 64 + 16

AD₁² = 80

AD₁ = √(16*5) = 4√5 (см)

ответ: 4√5 см

Объяснение: Рисуем треугольник АВС. Угол А - прямой.

Проводим высоту АК на сторону СВ.

ВК = 6 см

КС = 2 см

Составляем уравнения теоремы Пифагора

АК^2 = AC^2 - KC^2

или

АК^2 = AC^2 - 4 [уравнение 1]

AK^2 = AB^2 - BK^2

или

AK^2 = AB^2 - 36 [уравнение 2]

AB^2 + AC^2 = BC^2

или

AB^2 + AC^2 = 64 [уравнение 3]

Складываем уравнени [1] и [2]

2 * АК^2 = AC^2 + AB^2 - 40

Вместо суммы квадратов катетов подставляем значение квадрвта гипотенузы из уравнения 3

2 * АК^2 = 64 - 40

АК^2 = 12

Находим катет АС

АС^2 = AK^2 + KC^2 =

AC^2=12 + 4 = 16

AC = 4 см

sin В = АС/СВ = 4/8 = 1/2

В = 30 гр

С = 60 град

Подробнее - на -