Трапеция abcd (bc ll ad) ao : ос = 7 : 3 вd = 40 см od - ?

В трапеции треугольники  ВОС и АОD при основаниях - подобны по равным накрестлежащим углам и вертикальному при О. 
⇒
ОD:BO=AO:OC=7"3
OD:(40-OD)=7:3
3 OD=280-7 OD
10 OD=280
OD=28 см

1) тр АВК = тр СДН ( по двум сторонам и углу м/д ними), а именно:     
            АВ=СД по усл     
            ВК=ДН как высоты в трапеции     
      уг АВК= уг СДН ( см доказательство ниже в скобках)
(уг ВАК=уг СДА как углы при основании р/б трап;
уг СДА= уг НСД как внутр накрестлеж при BH||AD и секущ СД, 
⇒ уг ВАК = уг НСД;
далее по т о сумме углов в треугольнике уг АВК= 180-90-уг ВАК и
                                                                      уг СДН= 180-90-уг НСД,
                                                                 но уг  ВАК=уг НСД,⇒
                                                                         угАВК=угСДН)
2)  следовательно  Sтрап = Sпрямоуг =89 кв дм

Если соединить центр окружности с вершинами многоугольника, получим треугольники, сумма сторон которого, расположенных вне окружности, - периметр описанного многоугольника. 
Проведем из центра ( общей вершины каждого получившегося треугольника) высоты к сторонам многоугольника. .
Т.к. площадь треугольника находят по формуле 
   S=a*h:2,
а высота здесь равна радиусу, проведенному в точку касание окружности со стороной каждого треугольника, ⇒ 
 S=a*r:2
Площадь многоугольника равна сумме площадей всех этих треугольников с вершиной в центре вписанной в него окружности. 
S=а₁*r:2+ a₂*r:2+a(n)*r:2=r*(a₁+a₂+a₃+a(n)):2=r*P:2=r*p ⇒ 
Площадь многоугольника равна произведению его полупериметра и радиуса окружности, вписанной в этот многоугольник.( верно, естественно, и для треугольника с вписанной в него окружностью)
S=51*4:2=102