Высоты, проведенные из вершин а, в и с треугольника авс, равны 20, 15 и 12 соответственно. а) докажите, что треугольник авс прямоугольный. б) найдите длину биссектрисы треугольника, проведенной из вершины с.

В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами, это 20 и 15. Тогда гипотенуза c=(20^2+15^2)^(1/2)=25, высота, опущенная на с Hc=ab/c=12 данная в условии. Искомая биссектриса bc , проведенная из вершины прямого угла C выражается известной формулой
bс=2b*a*cos(π/4)/(a+b)=2*15*20/1,41*(15+20).=12,15

Малая диагональ делит ромб на два треугольника
так как один угол равен 60° и треугольник равнобедренный, то остальные два угла равны между собой и равны (180-60):2=60°
Следовательно треугольник равносторонний и сторона ромба равна малой диагонали и равна 8см.
площадь ромба состоит из суммы площадей двух одинаковых треугольников
найдем площадь треугольника по формуле Герона
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))
a, b, c -  стороны треугольника
p - полупериметр
Р=8+8+8=24см
р=24:2=12см
S=√(12*4*4*4)=√(3*4*4*4*4)=16√3
S ромба равна 32√3

Малая диагональ делит ромб на два треугольника
так как один угол равен 60° и треугольник равнобедренный, то остальные два угла равны между собой и равны (180-60):2=60°
Следовательно треугольник равносторонний и сторона ромба равна малой диагонали и равна 8см.
площадь ромба состоит из суммы площадей двух одинаковых треугольников
найдем площадь треугольника по формуле Герона
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))
a, b, c -  стороны треугольника
p - полупериметр
Р=8+8+8=24см
р=24:2=12см
S=√(12*4*4*4)=√(3*4*4*4*4)=16√3
S ромба равна 32√3