Даны точки а(-1; 5; 3) в(7; -1; 3)с(3; -2; 6)доказать, что треугольник авс-прямоугольный.

i ab i² = (7 - (-1))² + (-1 - 5)² + (3 - 3)² = 64 + 36 + 0 = 100

i ac i² = (3 - (-1))² + (-2 - 5)² + (6 - 3)² = 16 + 49 + 9 = 74

i bc i² = (3 - 7)² + (-2 - (-1))² + (6 - 3)² = 16 + 1 + 26 = 26

i ab i² = i ac i² + i bc i² ,  поэтому по теореме, обратной теореме пифагора, треугольник авс прямоугольный. 

Т. к. центр вписан. окр-ти делит высоту в отношении 5/3, то: bo/oh=5/3, bo+oh=32 = bh, отсюда можно найти bo=20 см. , oh = 12 см.  oh - является радиусом вписанной окружности, r =oh=12 см.  треугольник abc - равнобедр. , ab = bc. bh - высота, медиана и биссектриса, равна 32 см.  радиус описанной окруж. можно найти по формуле:   r = ab*bc*ac/4s =2*aс*ab^2/4s = ac*ab^2/2s  s = 0.5 * ac*bh = 16ac  r=ac*ab^2 /2*16*ac = ab^2/32  остается найти ab - тогда найдете и радиус описанной окружности. 

Проведем из вершины  отрезки  , где точка  пересечение с окружностью. обозначим точку перпендикуляра  с     .  получим   четырехугольник  , который вписан   в окружность.  по теореме птолемея  , так как         лежит   на центре     , то треугольники   прямоугольные.  .  откуда   при подстановке получаем соотношение  .  так как  четырехугольник прямоугольник.  заметим что  - высота прямоугольного треугольника  , тогда  . откуда по теореме пифагора    , так как   является высотой   прямоугольного   треугольника   , то        тогда