Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 5, а площадь круга, описанного около основания пирамиды равна 12pi. найдите радиус шара, вписанного в эту пирамиду.

В сечении правильной пирамиды, проведенном через апофемы  граней имеем равнобедренный треугольник с основанием 2а, а=R - b, a=R - R(1 - cos30).
Найдем R из соотношения S=12π=πR^2, R=√12=3,46.
a=3,46 - 3,46(1 - √3/2)=3,46(1 - 0,134)=3, 2a=6. Площадь этого Δ :
s=a*h, h^2=L^2 - a^2, s=a*√(25 -9=12. Радиус шара, вписанного в пирамиду 
равен радиусу вписанной в Δ окружности  r = s/p = 12/8= 1,5.

Пирамида SАВСДЕF c вершиной S, в основании - правильный шестиугольник АВСДЕF.
Высота пирамиды SH, апофема (высота боковой грани АSВ) пирамиды SK=5.
Т.к. площадь круга S=πR², то радиус  описанной  окружности  правильного  шестиугольника R=АН=ВН=√S/π=√12π/π=2√3, значит и сторона  шестиугольника АВ= R=2√3.
Радиус вписанной окружности в шестиугольник r=КН=АВ*√3/2=2√3*√3/2=3
Из прямоугольного ΔSKH найдем SH:
SH²=SK²-KH²= 25-9=16.
SH=4
Центр шара О, вписанного в пирамиду, лежит на высоте SH, а точка Р касания шара и боковой грани ASB лежит на апофеме SК. Радиус шара РО=ОН.
Прямоугольные ΔSOP (<SPO=<SKH=90°) подобен ΔSКН по острому углу (<S-общий).
SO/SК=PO/KH
SO=SH-OH=SH-PO=4-PO
(4-PO)/5=PO/3
12-3PO=5PO
PO=12/8=3/2=1,5

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикулярного к ней отрезка. 

Обозначим вершины ромба АВСD. 

Точка L удалена от прямых, содержащих стороны ромба, на одинаковое расстояние. ⇒ наклонные, проведенные из L перпендикулярно к сторонам ромба, равны, и по т. о з-х перпендикулярах равны их проекции. 

Эти проекции равны половине диаметра вписанной в ромб окружности, который равен высоте ВН ромба. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей ромба. 

ВН=АВ•sin 45°=(a√2)/2=a/√2.

Радиус ОK=а/2√2. 

По т.Пифагора из ∆ LOK  катет LO=√(LK²-OK²) 

LO=√(b²- a²/8) Домножив в подкоренном выражении числитель и знаменатель на 2, получим LO=√[2•(8b²-a²):16]=[√2•(8b²-a²)]:4

№1 Сумма углов треугольника равна 180 градусов.сумма двух данных углов равна 107+23=130 градусов.следовательно третий угол равен 180-130=70 градусов.
№2 Обозначим боковую сторону через Х
тогда основание будет Х+12. составляем уравнение Х+Х+(Х+12)=45,
3Х=33,Х=11 Боковая сторона равна 11см,основание равно 23см
№3 Углы ANDиCND вертикальные,а значит равны по 104 градуса. Угол ANC смежный с углом AND.Сумма смежных углов равна 180 градусов,тогда угол ANC=180-104=76
№4 Т.к. боковая сторона в 2 раза больше высоты,тоугол,лежащий напротив высоты  равен 30 градусов,а это угол при основании равнобедренного треугольника.тогда угол при вершине  треугольника равен 180-(30+30)=120 градусов