Дан прямоугольный треугольник abc с прямым углом c через центр o вписанной треугольник окружности проведен луч bo, пересекающий катет ac в точке m . известно что am =8 корней 3 угол а = углу mbc.найдите гипотенузу

Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника. Значит ВМ - это биссектриса угла В (<МВА=<МВС=<В/2=<А). Получается, что <В=2<А.
Т.к. <В+<А=90°, то <А=30°, а <В=60°.
ΔАМВ - равнобедренный (АМ=ВМ=8√3), т.к. углы при основании равны.
Из прямоугольного ΔМВС
МС=ВМ/2=8√3/2=4√3 (катет против угла 30° равен половине гипотенузы)
ВС=√(ВМ²-МС²)=√(192-48)=√144=12
Из прямоугольного ΔАВС
ВС=АВ/2 (катет против угла 30° равен половине гипотенузы)
АВ=2ВС=2*12=24

1. АВ пересекает Окр(O;r) = D

2.  ВС и ВА, СА и СВ, АС и АВ - касательные к окружности.

     По свойству касательных (если из некотрой точки S проведены две касательные a и b к окружности, то отрезки касательных  от точки S до точек касания А и В равны) BM=BD, КС=CM, AK=AD

2. Катет СВ=СМ+ВМ=4+8=12

3. Выразим отрезки касательных АК и АD через х.

    Катет АС=КС+х, КС=4+х гипотенуза АВ=ВD+х, АВ=8+х

4. По теореме Пифагора: 

    АВ² = АС² + СВ²

    (8+х)² = (4+х)² + 12²

    64+16х + х² = 16 + 8х + х² + 144

    16х + х² - 8х - х² = 16 + 144 - 64

     8х = 96

      х = 12

Следовательно, АК=12

ответ: АК=12

Рисунок прицепить не могу, попробую на пальцах.
Значится рисуем тупоугольный треугольник abc, в котором тупой угол c, а сторона ac=bc и ∠a=∠b
Из вершины b  проводим высоту к продолженной стороне ac, т.е. высота лежит за пределами Δabc, точку пересечения с продолженной стороной обзовем k, получим высоту bk
Теперь проведём биссектрису из вершины b к стороне ac, в точке пересечения поставим f.
Получим угол между биссектрисой и высотой, т.е. ∠fbk=48°
Примем ∠fbc=x, тогда ∠a=∠b=2x
Чтобы найти ∠с нужно сначала найти ∠f,  рассмотрим Δfbk:
Сумма трёх углов =180°, значит ∠f=180-90-48=42°
Теперь рассмотрим Δfbc и выразим ∠c:
∠c=180-42-x
∠c=138-x
Теперь возвращаемся к нашему исходному Δabc и составляем уравнение:
2х+2х+(138-х)=180
4х+138-х=180
3х=42
х=14

∠a=∠b=2x
Подставляем, получаем 
∠a=∠b=28°

∠c=180-28-28
∠c=124

ответ: углы треугольника равны 28, 28 и 124 градуса