Дан прямоугольный треугольник авс с катетами вс = 3 и ас = 4. ромб вdеf расположен в треугольнике авс, вершина в общая, а остальные три вершины ромба лежат на трёх сторонах треугольника авс. найти сторону ромба.

Поскольку вершина треугольника В - вершина ромба, две его стороны - BD и  BF лежат на сторонах треугольника ВС  и ВА соответственно 
ВЕ - диагональ ромба, которая в ромбе является биссектрисой и делит угол АВС пополам. 
Биссектриса  делит противоположную углу сторону треугольника  в отношении прилежащих сторон.
Пусть коэффициент отношения будет х. 
Тогда АЕ=5х, ЕС=3х.
АС=4
АЕ+ЕС=8х⇒
х=0,5
АЕ=5*0,5=2,5
Противолежащие стороны ромба параллельны и равны, FЕ || BC ⇒
∠FEА=∠ BCА=90º
EF отсекает от Δ АВС подобный ему треугольник АFE .
Из подобия треугольников 
АС:АЕ=ВС:FE
4:2,5=3:FE
4 FE=7,5
FE=1,875 (ед. длины)

1. ABCD - сечение цилиндра, проведенное параллельно оси.
BD = 6 см, ∠BDA = 45°.
ΔBDA: ∠BAD = 90°, ∠BDA = 45°, ⇒ ∠DBA = 45°, ⇒
             BA = AD = x
             x² + x² = 6²
             2x² = 36
             x = √18 = 3√2
H = AB = 3√2 см - высота цилиндра.

Дуга AD 60°, ⇒ ∠AOD = 60° (центральный)
ΔAOD: AO = OD = R, ∠AOD = 60°, ⇒ треугольник равносторонний.
R = AD = 3√2 см

Sбок = 2πRH = 2π· 3√2· 3√2 = 36π см²

2. ВО = 6 см - высота конуса,
ОС = 2√3 дм - радиус основания.
ΔВОС: ∠ВОС = 90°, по теореме Пифагора
              ВС = √(ВО² + ОС²) = √(0,36 + 12) = √12,36 дм

Сечение ΔАВС - равносторонний, так как АВ = ВС как образующие, ∠АВС = 60°.
Sabc = a²√3/4, где а - сторона равностороннего треугольника.
Sabc = 12,36√3/4 = 3,09√3 дм²

Дано: ABCD  ромб ; BD =30 ; AC =40 ; AK ⊥ (ABCD) ; AK= 10 .

d( K , CD) = d( K , BC) - ?

Проведем  из вершины A  высоту ромба :  AH  ⊥ CD  (AH = h) и соединим  точка H с точкой K . KH -наклонная  , AH ее проекция на  плоскости  ABCD.
По теореме трех перпендикуляров CD  ⊥  KH ,т.е.  KH есть расстояние от точки   K до  стороны CD .
Из ΔKAH : KH = √(KA² +AH²).

Сторона  ромба равно  a =√ ( (BD/2)² +(AC/2)² ) = (1/2)*√ ( BD² +AC)² = 
 (1/2)*√ ( 30² +40)²  =(1/2)*50=25. 
S(ABCD) =BD*AC/2 = 30*40/2 = 600. C другой стороны  S(ABCD) =a*AH ⇒
600 =25*AH  ⇒AH =24.
Окончательно :
KH = √(KA² +AH²) = √(10²+24)² =√(100+576) =√676=26.

ответ :   26.