Восновании четырехугольной пирамиды sabcd лежит ромб abcd со стороной 1. длина диагоналиac ромба равна 1, 5. основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1, 5 раза больше длины ac.через точку a и середину ребра sc проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45 градусов.какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 1. Длина диагонали AC ромба равна 1,5. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза больше длины AC. Через точку A и середину ребра SC проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45 градусов. 
Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?
--------
Сделаем рисунок. 
Угол МАС=45º по условию и 
SH=AC*1,5=1,5*1,5=2,25 
В треугольнике SHC  точка М - середина SC; отрезок МР⊥ НС и ||  SH,⇒
МР - средняя линия и равен SH:2МР=2,25:2=1,125 
АМ=МР:sin 45º=1,125√2=(9/8)*√2 
Т.к. основание высоты совпадает с центром ромба, треугольник АSС - равнобедренный и сечение проходит через точку пересечения медиан SH  и AM треугольника ASC. 
 SO:OH=2:1 по свойству медиан. 
КЕ || BD 
Треугольники BSD и KSЕ подобны 
SO:SH=2:3. 
КЕ : BD=2/3 
По свойству диагоналей параллелограмма ( а ромб - параллелограмм)  
D²+d²= 2 a²+2 b² 
АС²+ВD²=4*AB² 
ВD²=4-2,25=1,75 
ВD=√1,75=0,5√7 
KE=BD*2/3=(√7):3 
Диагонали четырехугольника АКМЕ взаимно  перпендикулярны. 
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. 
S АКМЕ=0,5*АМ*КЕ*sin 90º=0,5*{(9/8)*√2 *(√7):3}*1=(3√14):16

1. Вычислите внутренний и внешний углы правильного двадцатисемиугольника.

Сумма внутренних углов многоугольника вычисляется по формуле
180(n-2), где n - количество сторон многоугольника.
180(27-2)=4500
Один внутренний угол равен 166 и 2/3 °или 166°40'
Внешний угол равен 180- 166°40'=13°20'

 

2. Сколько сторон имеет правильный n-угольник, если:
а)
его внутренний угол равен 170°;
180(n-2):n=170°
180 n-360=170n°
10n°=360°
n=36
б)
его внешний угол равен 12°.
Сумма внешних углом многоугольника равна 360°
n=360:12=30

 

3. Около квадрата со стороной (?)см описана окружность, которая вписана в правильный треугольник. Найдите площадь треугольника.

 

Пусть сторона квадрата =с
Диагональ вписанного квадрата = диаметр описанной около него окружности.
Если сторона квадрата c, диаметр описанно окружности с√2
В то же время этот диаметр= 2/3 высоты описанного около этой окружности правильного треугольника.
Если 2/3=с√2, то вся высота

h=3* (с√2):2
Тогда сторона описанного правильного треугольника
а=h:sin 60°
а=3*(с√2):2}:(√3/2)=с√6

Площадь правильного треугольника
S=(a²√3):4
Подставив в эту формулу найденное значение а=с√6 стороны правильного треугольника, получим
S=(3с²√3):2
Вставив вместо с  его численное значение, получим площадь конкретного треугольника.

Рисунок в дополнение к решению - во вложении. 

 4)

Внутри окружности с радиусом 8 см расположены две окружности, касающиеся друг друга внешним образом, каждая из которых касается большей окружности внутренним образом, причем все точки касания и радиусы всех трех окружностей лежат на одной прямой.

К   задаче с таким условием можно сделать рисунок - и только. 

 

1)

треугольник АВС

к каждой стороне проводим серединный перпендикуляр

к стороне  АВ - серединн. перпендикуляр -с

к стороне  ВС - серединн. перпендикуляр -а

к стороне  АС - серединн. перпендикуляр -b

точка пересечения перпендикуляров О - равноудалена от всех вершин

2)

угол АВС

DE - прямая пересекает стороны угла

строим биссектриссы 

BB1 - биссектриса <B

DD1 -биссектриса <BDE

EE1 - биссектриса <DEB

точка пересечения биссектрис О равноудалена от от прямой,пересекающей стороны угла и от сторон данного угла

3)

также  как и пункте 2)  через биссектрисы

треугольник АВС

строим биссектриссы 

BB1 - биссектриса <B

AA1 -биссектриса <A

CC1 - биссектриса <C

точка пересечения биссектрис О равноудалена  от трех сторон треугольника