Вравнобедренном треугольнике abc с основанием ac проведены биссектрисы ad и ce докажите что ae=ed

угол а=углу с(углы при основании равнобедренного треугольника)

угол а=угол ваd+угол саd

угол с=угол все+угод аве

так как угол а=углу с, биссектрисы делящиеся их пополам также равны |→ угог dac=углу асе рассмотрим теугольник амс(м-точка пересечения)

угол dac=углу асе(по док 1)

углы при основании треугольника равны|→ треугольник амс равнобедренный|→ае=еd

Все просто, если бы не четырехугольник задан координатами его вершин, значит имеем дело с векторами.  выпуклый многоугольник - многоугольник, все углы которого меньше 180°. косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов. для нахождения угла а:     1) находим координаты векторов ав и аd (угол а между ними) :       ав={xb-xa; yb-ya} = {5-4; 7-4} = {1; 3}       ad={12-4; 4-4} = {8; 0}   2)  находим скалярное произведение векторов ав и аd:     ab*ad= xab*xad + yab*yad = 8+0=8   3) находим модули векторов ав и ас:     |ab| = √(x²+y²) = √(1+9) = √10     |ad| = √(64+0) = 8 cosa= ab*ad/(|ab|*|ad|) = 8/8√10 ≈ 0,316   угол а ≈ 72°. для нахождения угла в:   1) находим координаты векторов ва и bс (угол в между ними) :       ba={xa-xb; ya-yb} = {4-5; 4-7} = {-1; -3}       bc={10-5; 10-7} = {5; 3}   2)  находим скалярное произведение векторов ba и bс:     ba*bc= xba*xbc + yba*ybc = (-5)+(-9)= -14   3) находим модули векторов ba и bс:     |ba| = √(x²+y²) = √(1+9) = √10     |bc| = √(25+9) = √34 cosв= ва*вс/(|ва|*|вс|) = -14/√340 ≈ -0,759   угол в ≈ 139°. для нахождения угла c:   1) находим координаты векторов cb и cd (угол c между ними) :           cb={5-10; 7-10} = {-5; -3}           cd={12-10; 4-10} ={2; -6}   2) находим скалярное произведение векторов cb и cd:     cb*cd= xcb*xcd + ycb*ycd = (-10)+(18)= 8   3) находим модули векторов cb и cd:     |cb| = √(x²+y²) = √(25+9) = √34     |cd| = √(4+36) = √40 cosc= cb*cd/(|cb|*|cd|) = 8/36,88 ≈0,217   угол c ≈ 77°.   для нахождения угла d:   1) находим координаты векторов dc и da (угол d между ними) :           dc={10-12; 10-4} = {-2; 6}           da={4-12; 4-4} ={-8; 0}   2) находим скалярное произведение векторов dc и da:     dc*da= xdc*xda + ydc*yda = (16)+(0)= 16   3) находим модули векторов dc и da:     |dc| = √(x²+y²) = √(4+36) = √40     |da| = √(64+0) = 8 cosd= dc*da/(|dc|*|da|) = 16/16√10 ≈0,316   угол d ≈ 72°.   все углы четырехугольника меньше 180°, значит он   выпуклый, что и надо было проверить.проверим арифметику: сумма углов нашего четырехугольника равна:   72°+139°+77°+72° = 360°. на удивление, совпало.

640

Объяснение:

1) Воспользуемся формулой:

Длина L равна  = Длину катета (прилежащего к углу, из которого проведена биссектриса) умножить на корень квадратный из дроби, в числителе которой длина гипотенузы, умноженная на 2, а в знаменателе - суммы длины гипотенузы и этого катета (который вместе с гипотенузой образует угол, из которого проведена биссектриса).

2) Длина гипотенузы:

√  18^2 + 24^2 = √ 324 + 576 = √ 900 = 30

3) Против меньшего угла лежит меньшая сторона. Значит, угол, из которого проведена биссектриса, образован катетом 24 см и гипотенузой 30 см.

L = 24 * √ 2*30 / (30+24)

4) Находим квадрат этой величины:

L^2 = 576 * 2*30 / (30+24) = 34560 / 54 = 640.

Проверка.

Корень квадратный из 640 ≈ 25,3 см - это больше, чем катет 24, но меньше, чем гипотенуза 30 см. Значит, отрезок лежит в плоскости треугольника.  

ответ: 640.